Eigenwerte und Eigenvektoren von Streckung und Drehung

Die Aufgabe

Gegeben seien die reelle Matrix einer Streckung $A$ und die reelle Matrix einer Drehung $B$ , jeweils im $\mathbb{R}^2$ :

A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \ \text{ mit } a, b \neq 0 \qquad\qquad B = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}

Bestimmen und deuten Sie geometrisch die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix $A$ . Hinweis: Unterscheiden Sie die beiden Fälle $a \neq b$ und $a = b$ .
Bestimmen und deuten Sie geometrisch die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix $B$ . Hinweis zum Rechnen: $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .

Eine Matrix wirkt auf Vektoren: Sie macht aus einem Pfeil einen neuen Pfeil. Meist ändert sich dabei die Richtung. Ein Eigenvektor ist ein Pfeil, dessen Richtung bleibt; er wird nur gestreckt, gestaucht oder umgekehrt. Der Faktor dazu heißt Eigenwert. Wir fragen für zwei Matrizen: Welche Pfeile bleiben auf ihrer Geraden durch den Ursprung?

Merke: Ein Eigenvektor ist ein Pfeil, der nach der Abbildung auf seiner Geraden durch den Ursprung bleibt. Sein Eigenwert sagt, um welchen Faktor er dabei länger oder kürzer wird (negativ: er kehrt sich um).

So gehen wir vor:

Eigenwert und Eigenvektor erklären und die Methode herleiten (charakteristisches Polynom).
a) $A$ : Polynom aufstellen, Eigenwerte ablesen, Eigenvektoren in den Fällen $a \neq b$ und $a = b$ bestimmen und deuten.
b) $B$ : Polynom aufstellen, mit $\cos^2 + \sin^2 = 1$ vereinfachen, mit der Diskriminante klären, wann es reelle Eigenwerte gibt, und die Fälle deuten.

Zur Musterlösung: „Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren“ meint alle Vielfachen $t \cdot (1, 0)$ und $t \cdot (0, 1)$ mit $t \neq 0$ . „Jeder Vektor“ meint jeden Vektor außer dem Nullvektor, denn der ist nie ein Eigenvektor. Die Eigenwerte selbst nennt die Musterlösung nicht; wir leiten sie her.

Eigenwert und Eigenvektor

Definition: λ ist Eigenwert von A, v ein Eigenvektor dazu

A \cdot v = \lambda \cdot v \quad \text{mit } v \neq 0

Die Matrix $A$ macht aus einem Vektor $v$ den Vektor $A \cdot v$ . Meist zeigt der neue Pfeil in eine andere Richtung. Manche Pfeile werden aber nur gestreckt, gestaucht oder umgekehrt: $A \cdot v$ ist dann ein Vielfaches von $v$ .

Den Faktor nennt man Eigenwert $\lambda$ (griechisch „lambda“), den Pfeil $v$ einen Eigenvektor zu $\lambda$ . Der Nullvektor zählt nicht, denn für $v = 0$ stimmt die Gleichung bei jedem $\lambda$ .

Geometrisch: Der Eigenvektor bleibt auf seiner Geraden durch den Ursprung. Bei $\lambda > 0$ zeigt er weiter in dieselbe Richtung, bei $\lambda < 0$ in die Gegenrichtung. Bei $|\lambda| > 1$ wird er länger, bei $|\lambda| < 1$ kürzer.

Rechts als Beispiel $a = 2$ , $b = \tfrac{1} {2}$ : Der Pfeil $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ wird zu $A \cdot e_1 = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + \tfrac{1}{2} \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot e_1$ . Also ist $e_1$ ein Eigenvektor zum Eigenwert 2.

Wie man Eigenwerte findet

Von der Definition zum charakteristischen Polynom

\begin{aligned} & A \cdot v = \lambda \cdot v \text{ für ein } v \neq 0 \\ \iff\ & A \cdot v - \lambda \cdot v = 0 \text{ für ein } v \neq 0 \\ \iff\ & A \cdot v - (\lambda E) \cdot v = 0 \text{ für ein } v \neq 0 \\ \iff\ & (A - \lambda E) \cdot v = 0 \text{ für ein } v \neq 0 \\ \iff\ & p_A(\lambda) = \det(A - \lambda E) = 0 \end{aligned}

Wir können nicht jeden Pfeil ausprobieren. Darum formen wir die Definition um. Jede Zeile rechts ist gleichwertig zur vorigen (Zeichen $\iff$ , „genau dann, wenn“).

$\lambda \cdot v$ nach links bringen. Dann $\lambda \cdot v$ als $(\lambda E) \cdot v$ schreiben, denn $E \cdot v = v$ ( $E$ ist die Einheitsmatrix). So kann man $v$ ausklammern.
Ein $v \neq 0$ mit $(A - \lambda E) \cdot v = 0$ gibt es genau dann, wenn die Matrix $A - \lambda E$ nicht umkehrbar ist, also ihre Determinante 0 ist.

$\det(A - \lambda E)$ ist ein Polynom in $\lambda$ , das charakteristische Polynom $p_A(\lambda)$ . Die Eigenwerte sind genau seine Nullstellen.

Aus Ü9 A1 („Eigenwerte der transponierten und der inversen Matrix“): Dort steht dieselbe Umformung ausführlich, mit dem Grund:

\det(M) = 0

heißt, dass die Spalten von

M

linear abhängig sind.

Eigenwerte und Eigenvektoren von Streckung und Drehung

Die Aufgabe

Eigenwert und Eigenvektor

Wie man Eigenwerte findet

Die Streckung in der Ebene

Abbildung 1Die Streckung in der Ebene

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Eigenwert und Eigenvektor

Schritt 2Wie man Eigenwerte findet

Die Streckung in der Ebene

Abbildung 1Die Streckung in der Ebene

Die Aufgabe

Eigenwert und Eigenvektor

Wie man Eigenwerte findet