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LAG · Übungsblatt 10 · Aufgabe 3

Orthogonale Vektoren im ℝ³: Skalarprodukt und Vektor senkrecht zu zweien

Zwei Pfeile im Raum heißen orthogonal, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Ob das so ist, entscheidet eine einzige Zahl, das Skalarprodukt. Hier prüfen wir damit zwei gegebene Vektoren und suchen dann einen dritten, der auf beiden senkrecht steht. Dafür stellen wir ein Gleichungssystem auf und lösen es. Als zweiten Rechenweg berechnen wir den Vektor noch einmal mit dem Kreuzprodukt. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Gegeben seien die Vektoren a,b∈R3a, b \in \mathbb{R}^3 mit

a=(1−11),b=(10−1).a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.
  1. Sind a und b orthogonal im Sinne der euklidischen Norm?
  2. Bestimmen Sie einen Vektor c so, dass c sowohl auf a als auch auf b orthogonal ist.

Gegeben sind zwei Vektoren aa und bb im Raum. Ein Vektor im Raum R3\mathbb{R}^3 ist ein Pfeil mit drei Zahlen: die erste geht nach vorn, die zweite nach rechts, die dritte nach oben (negativ heißt die Gegenrichtung).

Die Teilaufgaben heißen im Original d) und e), obwohl es kein a) bis c) gibt. Die handschriftliche Musterlösung nennt sie a) und b). Wir behalten die Bezeichnung des Originals bei.

Bei d) ist zu entscheiden: ja oder nein. Bei e) ist ein Vektor cc gesucht, der auf aa und auf bb senkrecht steht. Es gibt dafür nicht nur einen Vektor, sondern unendlich viele. Wir bestimmen sie alle.

Merke: Senkrecht heißt: Skalarprodukt gleich 0 (Schritt 1 erklärt es). Der gesuchte Vektor cc muss zwei solche Bedingungen erfüllen, eine für aa und eine für bb.

So gehen wir vor:

  1. Teil d): das Skalarprodukt erklären, ausrechnen und das Ergebnis deuten.
  2. Teil d): zur Probe die Längen vergleichen (Satz des Pythagoras).
  3. Teil e): beide Bedingungen als Gleichungssystem aufschreiben.
  4. Teil e): das System mit dem Gauß-Verfahren lösen; es bleibt ein freier Wert.
  5. Teil e): die Lösung als Gerade deuten, Probe durch Einsetzen.
  6. Teil e): zweiter Rechenweg über das Kreuzprodukt.

Was orthogonal heißt und was das Skalarprodukt ist

Skalarprodukt zweier Vektoren im ℝ³: Einträge paarweise multiplizieren, dann addieren
⟨a,b⟩=a1b1+a2b2+a3b3\langle a, b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
Orthogonal (senkrecht) genau dann, wenn die Zahl 0 ist
a⊥b  ⟺  ⟨a,b⟩=0a \perp b \iff \langle a, b \rangle = 0
Unsere Einträge: a₁ = 1, a₂ = −1, a₃ = 1 und b₁ = 1, b₂ = 0, b₃ = −1
a=(1−11),b=(10−1)a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Orthogonal heißt senkrecht: Die beiden Pfeile bilden einen rechten Winkel. Mit dem Auge lässt sich das im Raum schlecht prüfen. Dafür gibt es das Skalarprodukt: eine Rechenvorschrift, die aus zwei Vektoren eine einzelne Zahl macht.

Man multipliziert die Einträge an derselben Stelle und addiert die drei Produkte. Das ist das Skalarprodukt des euklidischen Raums. Aus ihm folgt die euklidische Norm ∥v∥\|v\|, die Länge eines Pfeils: ∥v∥2=⟨v,v⟩\|v\|^2 = \langle v, v \rangle. „Orthogonal im Sinne der euklidischen Norm“ heißt daher: senkrecht bezüglich dieses Skalarprodukts. Der Satz, der alles trägt: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Warum das so ist, zeigt Schritt 3.

Aus Ü10 A1 („Normen: 1-Norm, 2-Norm und ∞-Norm“): Die Norm misst die Länge eines Vektors; die 2-Norm ist die gewöhnliche Länge im Raum.
Merke: ⟨a,b⟩=0\langle a, b \rangle = 0 genau dann, wenn aa und bb senkrecht aufeinander stehen.

Das Skalarprodukt ausrechnen

Eingesetzt
⟨a,b⟩=1⋅1+(−1)⋅0+1⋅(−1)\langle a, b \rangle = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1)
Produkte ausgerechnet
⟨a,b⟩=1+0+(−1)\langle a, b \rangle = 1 + 0 + (-1)
Summe
⟨a,b⟩=0  ⇒  a⊥b\langle a, b \rangle = 0 \;\Rightarrow\; a \perp b

Wir setzen die Einträge in die Formel ein, Stelle für Stelle: erste mit erster, zweite mit zweiter, dritte mit dritter. Dabei achten wir auf die Vorzeichen: Das dritte Produkt ist 1⋅(−1)=−11 \cdot (-1) = -1.

Das Ergebnis ist 0. Nach dem Satz aus dem letzten Schritt heißt das: aa und bb sind orthogonal. Die Antwort auf d) lautet also Ja.

Noch 12 Schritte bis zum Ergebnis
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Der Raum mit a, b und c

alles ist von Anfang an eingezeichnet

Abbildung 1Der Raum mit a, b und c

alles ist von Anfang an eingezeichnet

Ebene von a, bGerade ⟨c⟩abc
Legendein diesem Schritt gemeintDie Pfeile a und b, die Ebene, die sie aufspannen (Fläche), und der Pfeil c, der auf beiden senkrecht steht. Das Schrägbild verzerrt Winkel.