Gram-Schmidt: aus drei Vektoren im ℝ³ eine Orthonormalbasis bauen

Die Aufgabe

Gegeben seien die drei Vektoren

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.

Zeigen Sie, dass $B = \{v_1, v_2, v_3\}$ eine Basis des $\mathbb{R}^3$ darstellen.
Berechnen Sie nach dem Verfahren von Gram und Schmidt eine Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$ .

Gegeben sind drei Vektoren im Raum $\mathbb{R}^3$ . Ein Vektor ist ein Pfeil vom Ursprung aus, beschrieben durch drei Zahlen.

Bei a) ist zu zeigen: Die drei Vektoren bilden eine Basis. Bei b) ist die Orthonormalbasis gesucht, die das Verfahren von Gram und Schmidt aus diesen drei Vektoren macht. Die Reihenfolge $v_1, v_2, v_3$ ist dabei wichtig: eine andere Reihenfolge führt zu einer anderen Orthonormalbasis.

Merke: Eine Orthonormalbasis ist eine Basis, deren Vektoren alle die Länge 1 haben (normiert) und paarweise senkrecht aufeinander stehen (orthogonal).

So gehen wir vor:

Teil a): erklären, was eine Basis ist, und das Gleichungssystem aufstellen.
Teil a): mit dem Gauß-Verfahren lösen, daraus folgt die Basis.
Teil b): die Idee des Verfahrens, dann e₁ aus v₁ durch Normieren.
Teil b): von v₂ den Anteil in Richtung e₁ abziehen und normieren ergibt e₂.
Teil b): von v₃ die Anteile in Richtung e₁ und e₂ abziehen und normieren ergibt e₃.
Probe: Längen und Skalarprodukte, dann Vergleich mit der Musterlösung.

Was eine Basis ist und was zu zeigen bleibt

Linear unabhängig heißt: Diese Gleichung hat nur die Lösung λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0

\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Drei Vektoren und dim ℝ³ = 3

\text{3 linear unabhängige Vektoren in } \mathbb{R}^3 \;\Rightarrow\; \text{Basis}

Eine Basis des $\mathbb{R}^3$ ist eine Menge von Vektoren, die zwei Bedingungen erfüllt: Sie sind linear unabhängig, und mit ihnen lässt sich jeder Vektor des Raums darstellen. Der Raum $\mathbb{R}^3$ hat die Dimension 3: Jede Basis hat genau drei Vektoren.

Wir haben genau drei Vektoren. Deshalb reicht es zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind: Drei linear unabhängige Vektoren in einem Raum der Dimension 3 bilden von selbst eine Basis.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Vektoren sind linear unabhängig, wenn nur die Kombination mit lauter Nullen als Faktoren den Nullvektor ergibt. Wir fragen also: Welche Zahlen

\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3

ergeben

\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0

Das Gleichungssystem aufstellen

Die Gleichungen, Zeile für Zeile

\begin{aligned} \lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 &= 0 \\ 2\lambda_1 + 2\lambda_2 + 4\lambda_3 &= 0 \\ 2\lambda_1 + 0\lambda_2 - \lambda_3 &= 0 \end{aligned}

Erweiterte Matrix: Spalten sind v₁, v₂, v₃

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} \text{I} \\ \text{II} \\ \text{III} \end{matrix}

Die Vektorgleichung gilt in jeder der drei Zeilen. Zeile für Zeile entsteht eine Gleichung: In der ersten stehen die ersten Einträge der Vektoren, in der zweiten die zweiten, in der dritten die dritten. Die Unbekannten sind $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ .

Die Zahlen schreiben wir als erweiterte Matrix: Die drei Vektoren stehen als Spalten links vom Strich, rechts vom Strich steht die Null der rechten Seite. Die Zeilen nennen wir I, II und III.

Gram-Schmidt: aus drei Vektoren im ℝ³ eine Orthonormalbasis bauen

Die Aufgabe

Was eine Basis ist und was zu zeigen bleibt

Das Gleichungssystem aufstellen

Der Raum mit den Vektoren

Abbildung 1Der Raum mit den Vektoren

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was eine Basis ist und was zu zeigen bleibt

Schritt 2Das Gleichungssystem aufstellen

Der Raum mit den Vektoren

Abbildung 1Der Raum mit den Vektoren

Die Aufgabe

Was eine Basis ist und was zu zeigen bleibt

Das Gleichungssystem aufstellen