Orthonormalbasis des ℝ³ ergänzen

Die Aufgabe

Eine Basis, deren Vektoren alle senkrecht aufeinander stehen und die die Länge 1 haben, nennt man Orthonormalbasis. Die übliche Basis im $\mathbb{R}^3$ ist das kartesische System mit

B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}.

Gegeben sei der Vektor

a = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad \|a\| = 1.

Bestimmen Sie zwei weitere Vektoren $b$ und $c$ so, dass $B' = \{a, b, c\}$ eine weitere Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$ bildet.

Gegeben ist ein Vektor $a$ im Raum $\mathbb{R}^3$ , also ein Pfeil mit drei Zahlen. Gesucht sind zwei weitere Vektoren $b$ und $c$ . Zusammen mit $a$ sollen sie eine Orthonormalbasis bilden.

Das Original nennt die übliche Basis „das kartesische System“. Gemeint ist die Standardbasis aus den Pfeilen entlang der drei Achsen. Sie ist selbst eine Orthonormalbasis. Gesucht ist eine zweite, andere.

Die Aufgabe hat nicht genau eine Lösung, sondern unendlich viele. Wir bestimmen eine und zeigen, dass sie alles erfüllt. Danach vergleichen wir sie mit der Musterlösung.

Merke: Orthonormal heißt: ortho (paarweise senkrecht, Skalarprodukt 0) und normal (Länge 1). Bei drei Vektoren sind das sechs Bedingungen.

So gehen wir vor:

Die sechs Bedingungen aufschreiben und prüfen, ob a die seinen erfüllt.
b finden: Gleichung für „senkrecht zu a“, einfache Wahl, Normieren.
c finden: Kreuzprodukt von a und b; zweiter Weg über ein Gleichungssystem.
Alle Bedingungen nachrechnen und prüfen, dass es eine Basis ist.
Zeigen, dass die Lösung nicht eindeutig ist, und die Musterlösung einordnen.

Die sechs Bedingungen einer Orthonormalbasis

Senkrecht aufeinander: drei Paare

\langle a, b \rangle = 0, \qquad \langle a, c \rangle = 0, \qquad \langle b, c \rangle = 0

Länge 1: drei Vektoren (Längenquadrat gleich 1)

\|a\|^2 = 1, \qquad \|b\|^2 = 1, \qquad \|c\|^2 = 1

Wir nennen die drei Vektoren $a$ , $b$ , $c$ . „Senkrecht“ prüft man mit dem Skalarprodukt: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht, wenn es 0 ist. „Länge 1“ prüft man mit dem Längenquadrat, dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

Aus Ü10 A3 („Orthogonale Vektoren im ℝ³: Skalarprodukt und Vektor senkrecht zu zweien“): Das Skalarprodukt multipliziert die Einträge an derselben Stelle und addiert die Produkte:

\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

. Die Länge ist

\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}

Bei drei Vektoren gibt es drei Paare (a und b, a und c, b und c) und drei Längen. Das sind sechs Bedingungen. Genau diese erfüllt die Standardbasis (Ü10 A5, „Einheitsvektoren im ℝ³“); wir suchen eine andere Basis mit denselben Eigenschaften.

Der gegebene Vektor a hat schon Länge 1

Eingesetzt: jeder Eintrag von a ist 1/√3

\|a\|^2 = \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2

Quadrate ausgerechnet, dann addiert

\|a\|^2 = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = 1 \;\Rightarrow\; \|a\| = 1

Von den sechs Bedingungen ist eine schon erledigt: $a$ soll Länge 1 haben. Die Aufgabe sagt das, wir rechnen es trotzdem nach, denn wir brauchen die Rechnung später für $b$ und $c$ .

Wir quadrieren jeden Eintrag. Der Faktor $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ wird dabei zu $\tfrac{1}{3}$ , denn $(\sqrt{3})^2 = 3$ .

Orthonormalbasis des ℝ³ ergänzen

Die Aufgabe

Die sechs Bedingungen einer Orthonormalbasis

Der gegebene Vektor a hat schon Länge 1

Der Raum mit a, b und c

Abbildung 1Der Raum mit a, b und c

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die sechs Bedingungen einer Orthonormalbasis

Schritt 2Der gegebene Vektor a hat schon Länge 1

Der Raum mit a, b und c

Abbildung 1Der Raum mit a, b und c

Die Aufgabe

Die sechs Bedingungen einer Orthonormalbasis

Der gegebene Vektor a hat schon Länge 1