Wahrheitstafeln aufstellen

Die Aufgabe

Geben Sie die Wahrheitstafeln zu den folgenden Ausdrücken an:

(i)

\big((p \land \neg q) \Rightarrow (\neg p \lor q)\big) \Leftrightarrow \neg(p \Rightarrow q)

(ii)

(p \lor q \lor \neg r) \Rightarrow \big((\neg p \land q) \lor (p \land \neg r)\big)

Zu zwei Ausdrücken ist die Wahrheitstafel anzugeben. Ein Ausdruck ist eine Aussage, die aus Variablen wie $p$ , $q$ , $r$ und Verknüpfungen wie $\land$ (und) oder $\Rightarrow$ (wenn, dann) zusammengesetzt ist. Jede Variable steht für eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann.

Gesucht ist für jeden Ausdruck eine Tabelle: eine Zeile für jede Kombination von 0 und 1 der Variablen, und darin der Wert des ganzen Ausdrucks, 0 oder 1. Zu rechnen gibt es nur mit 0 und 1.

So gehen wir vor:

Die fünf Verknüpfungen wiederholen und klären, wie man eine Tafel aufbaut.
(i) mit zwei Variablen: Spalte für Spalte von innen nach außen.
(ii) mit drei Variablen: genauso, nur mit acht Zeilen.

Merke: Eine Tafel füllt man immer von innen nach außen. Jede Klammer bekommt eine eigene Spalte, bevor man sie weiterverwendet.

Die fünf Verknüpfungen

Die Tafel der Verknüpfungen steht oben. Sie ist das Werkzeug für alle folgenden Schritte: Jede neue Spalte liest man aus ihr ab.

In der Aufgabe kommen fünf Zeichen vor. Jedes verknüpft Aussagen zu einer neuen Aussage. Die Tafel oben zeigt, wann das Ergebnis 1 (wahr) ist.

$\neg p$ (nicht $p$ , Negation): dreht den Wert um.
$p \land q$ ( $p$ und $q$ , Konjunktion): 1 nur, wenn beide 1 sind.
$p \lor q$ ( $p$ oder $q$ , Disjunktion): 1, wenn mindestens eine 1 ist. Auch beide dürfen 1 sein.
$p \Rightarrow q$ (wenn $p$ , dann $q$ , Implikation): dazu der nächste Schritt.
$p \Leftrightarrow q$ ( $p$ genau dann, wenn $q$ , Äquivalenz): 1, wenn beide denselben Wert haben.

Die Implikation: nur 1 ⇒ 0 ist falsch

Wann die Implikation falsch ist

(p \Rightarrow q) = 0 \quad\text{genau dann, wenn}\quad p = 1 \text{ und } q = 0

Die Implikation $p \Rightarrow q$ macht die meisten Fehler. Sie ist nur falsch, wenn $p$ wahr ist und $q$ falsch. Ein Versprechen „Wenn es regnet, nehme ich den Schirm“ ist nur gebrochen, wenn es regnet und kein Schirm dabei ist. Regnet es nicht, ist es nie gebrochen.

In $p \Rightarrow q$ heißt $p$ die Voraussetzung und $q$ die Folgerung. Ist die Voraussetzung falsch, ist die Implikation immer wahr.

Wahrheitstafeln aufstellen

Die Aufgabe

Die fünf Verknüpfungen

Die Implikation: nur 1 ⇒ 0 ist falsch

Die Verknüpfungen

Abbildung 1Die Verknüpfungen

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die fünf Verknüpfungen

Schritt 2Die Implikation: nur 1 ⇒ 0 ist falsch

Die Verknüpfungen

Abbildung 1Die Verknüpfungen

Die Aufgabe

Die fünf Verknüpfungen

Die Implikation: nur 1 ⇒ 0 ist falsch