Die Aufgabe
Vereinfachen Sie die nachfolgende Formel soweit wie möglich ohne die Verwendung einer Wahrheitstafel:
Gegeben ist eine Formel mit den Aussagenvariablen und . Jede Variable steht für eine Aussage, die wahr (1) oder falsch (0) sein kann.
Aus Aufgabe 1 („Wahrheitstafeln aufstellen“): (nicht) dreht den Wert um. (und) ist 1 nur, wenn beide Teile 1 sind. (oder) ist 1, sobald mindestens ein Teil 1 ist.
Gesucht ist eine möglichst kurze Formel, die für jede Belegung von und denselben Wert hat. Ohne Wahrheitstafel heißt: Man darf nicht alle Zeilen durchprobieren, sondern muss mit Rechengesetzen umformen.
Aus Aufgabe 3 („Gleichheit von Ausdrücken“): Zwei Ausdrücke und sind gleich (), wenn eine Tautologie ist. Das heißt: Beide haben in der Wahrheitstafel dieselbe Spalte.
Jedes Rechengesetz ist so eine Gleichheit. Darum darf man eine Seite durch die andere ersetzen, ohne den Wert der Formel zu ändern.
So gehen wir vor, je Schritt ein Gesetz:
- de Morgan: das ¬ vor der Klammer auflösen.
- Involutionsgesetz: das doppelte ¬ streichen.
- Distributivgesetz: das gemeinsame Stück ausklammern.
- Kommutativgesetz und Komplement: einen Teil erkennen, der immer 0 ist.
- Kommutativgesetz und neutrales Element: die 0 weglassen.
Merke: Bei jeder Zeile das Gesetz dazuschreiben. In der Klausur gibt es die Punkte für die genannten Gesetze, nicht nur für das Ergebnis.