Motor, Öldruck, Kontrolllampe

Die Aufgabe

Gegeben seien die Aussagen: $p$ (Motor läuft), $q$ (Öldruck vorhanden), $r$ (Öltemperatur zu hoch), und $s$ (Kontrolllampe blinkt)

(i) Beschreiben Sie die folgenden Aussagen umgangssprachlich:

a) $p \land q$
b) $p \Rightarrow q$
c) $\big((p \land \neg q) \lor (p \land r)\big) \Rightarrow s$

(ii) Bestimmen Sie die Wahrheitstafel für die Aussage in c).

Vier Aussagen über ein Auto sind gegeben. Jede bekommt einen Buchstaben, eine Aussagenvariable. Sie ist 1, wenn die Aussage stimmt, und 0, wenn nicht.

In (i) sind drei Formeln in normale Sätze zu übersetzen. In (ii) ist für die dritte Formel die Wahrheitstafel gesucht: für jede Kombination der vier Aussagen, ob die Formel stimmt.

So gehen wir vor:

a) und b) übersetzen: das Und und das Wenn-dann.
c) zerlegen und als Satz lesen.
Für c) die Tafel mit 16 Zeilen aufstellen, von innen nach außen.
Die Zeilen mit 0 deuten: Wann verstößt das Auto gegen die Regel?

Merke: Beim Übersetzen bleibt jede Verknüpfung erhalten. Aus

\land

wird „und“, aus

\lor

„oder“, aus

\neg

„nicht“ oder „kein“, aus

\Rightarrow

„wenn …, dann …“.

a) p ∧ q: das Und

a) $p \land q$ : Der Motor läuft und es ist Öldruck vorhanden.

$p \land q$ heißt „ $p$ und $q$ “. Die Formel ist nur wahr, wenn beide Aussagen gleichzeitig stimmen.

Man setzt die beiden Sätze ein und verbindet sie mit „und“. Das ist der Normalfall beim Fahren: Motor an, Öldruck da.

b) p ⇒ q: das Wenn-dann

b) $p \Rightarrow q$ : Wenn der Motor läuft, dann ist Öldruck vorhanden.

Motor	Öldruck	$p \Rightarrow q$	Bedeutung
aus	nein	1	Motor aus: die Regel sagt nichts
aus	ja	1	Motor aus: die Regel sagt nichts
an	nein	0	die Regel ist verletzt
an	ja	1	die Regel ist erfüllt

$p \Rightarrow q$ heißt „wenn $p$ , dann $q$ “. Die Formel ist nur falsch, wenn $p$ stimmt und $q$ nicht: Der Motor läuft, aber es gibt keinen Öldruck.

Zwei Missverständnisse kommen häufig vor:

Das Wenn-dann ist kein „weil“. Es sagt nicht, dass der Motor den Öldruck verursacht. Es sagt nur: Läuft der Motor, ist Öldruck da.
Über den stehenden Motor sagt die Formel nichts. Ist $p = 0$ , ist die Formel wahr, ob nun Öldruck da ist oder nicht.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1a) p ∧ q: das Und

Schritt 2b) p ⇒ q: das Wenn-dann

Die Aufgabe

a) p ∧ q: das Und

b) p ⇒ q: das Wenn-dann