Warnton im Auto

Die Aufgabe

Beschreiben Sie aussagenlogisch: In einem Auto soll ein Warnton den Fahrer darauf aufmerksam machen, dass das Licht eingeschaltet ist, obwohl der Zündschlüssel abgezogen ist und die Tür bereits geöffnet wurden.

Gegeben ist ein Satz in Umgangssprache. Gesucht ist eine Formel, die dasselbe sagt. Aussagenlogisch beschreiben heißt: den Satz in einzelne Aussagen zerlegen, die wahr oder falsch sein können, und sie mit Zeichen wie $\land$ (und) verbinden.

Zu rechnen gibt es fast nichts. Die Schwierigkeit liegt im Übersetzen: Welche Wörter stehen für welche Verknüpfung?

So gehen wir vor:

Die einzelnen Aussagen im Satz finden und ihnen Buchstaben geben.
Die Wörter „obwohl“ und „und“ übersetzen: daraus wird die Bedingung.
Mit einer Wahrheitstafel prüfen, wann die Bedingung erfüllt ist.
Die Bedingung mit dem Warnton verbinden: mit $\Rightarrow$ oder mit $\Leftrightarrow$ ?

Merke: Erst die Aussagen benennen, dann verknüpfen. Jede Variable steht für einen ganzen Satz, der wahr oder falsch ist.

Die einzelnen Aussagen finden

Variable	Aussage
$l$	Das Licht ist eingeschaltet.
$z$	Der Zündschlüssel ist abgezogen.
$t$	Die Tür ist geöffnet.
$w$	Der Warnton ertönt.

Eine Aussage ist ein Satz, der eindeutig wahr oder falsch ist. Im Text stecken vier davon. Jede bekommt einen Buchstaben, eine Aussagenvariable.

Drei Aussagen beschreiben den Zustand des Autos: Licht, Schlüssel, Tür. Die vierte ist das, was passieren soll: der Warnton.

Die Buchstaben sind frei gewählt. Wichtig ist nur, sie so zu formulieren, wie der Satz es meint: $z$ heißt „Schlüssel ist abgezogen“, nicht „Schlüssel steckt“. Dann braucht die Formel kein $\neg$ (nicht).

Aus „obwohl“ und „und“ wird ∧

Die Bedingung für den Warnton

B = l \land z \land t

Der Ton soll kommen, wenn drei Dinge gleichzeitig gelten: Licht an, Schlüssel abgezogen, Tür offen.

Das „und“ ist das logische Und, $\land$ (Konjunktion): wahr nur, wenn beide Teile wahr sind.

Das „obwohl“ sieht anders aus, sagt aber logisch dasselbe. „Das Licht ist an, obwohl der Schlüssel abgezogen ist“ heißt: beides gilt. Das Wort drückt nur aus, dass es nicht zusammenpasst. Für wahr oder falsch spielt das keine Rolle.

Diese Bedingung bekommt den Namen $B$ . Klammern braucht es nicht (Assoziativgesetz): Beim Und ist egal, welche zwei Teile man zuerst verbindet.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die einzelnen Aussagen finden

Schritt 2Aus „obwohl“ und „und“ wird ∧

Die Aufgabe

Die einzelnen Aussagen finden

Aus „obwohl“ und „und“ wird ∧