„Für alle“ und „es gibt“ sind die zwei wichtigsten Wörter der Mathematik. Sie heißen Quantoren. Rechts prüft ein Zeiger die Elemente einzeln: „Für alle“ sucht ein Gegenbeispiel, „es gibt“ einen Treffer. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran, und jeder Schritt startet die Prüfung neu.
Skript Teil 1, Folien 28 bis 31: Allquantor, Existenzquantor und ihre Regeln.
In Abschnitt 8 wurde ein Prädikat zur Aussage, indem man einen Wert einsetzt. Quantoren machen das anders: Sie fragen nach allen Werten auf einmal. „Für alle gilt “ ist eine Aussage, ohne dass man ein wählt.
So gehen wir vor:
Sei eine Grundmenge und ein Prädikat (über ).
(ein umgedrehtes A, für „alle“) heißt „für alle“. Die Aussage ist wahr, wenn für jedes Element stimmt. Ein Element, für das falsch ist, heißt Gegenbeispiel. Ein einziges Gegenbeispiel macht die Aussage falsch.
(ein gespiegeltes E, für „existiert“) heißt „es gibt“. Die Aussage ist wahr, sobald ein Element passt. Dieses Element heißt Zeuge.
Rechts ist .
sind die reellen Zahlen: alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl, auch Brüche und negative. Davon gibt es unendlich viele. Man kann sie nicht einzeln prüfen.
Stichproben zeigen nur: kein Gegenbeispiel unter diesen. Den Beweis liefert eine Rechnung, die für jedes gilt: .