Teil 2 der Vorlesung handelt vom Beweisen. Hier steht, woraus eine mathematische Theorie besteht und welche Beweisverfahren es gibt. Dann folgt das einfachste Verfahren: das Gegenbeispiel. Rechts wandern erst die Verfahren in ihr Fach, dann wird eine falsche Behauptung an Zahlen geprüft. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.
Skript Teil 2, Folien 3 bis 5: Beweisverfahren und Beweis durch Gegenbeispiel.
In Teil 1 ging es um Aussagen und wie man ihren Wahrheitswert bestimmt. Jetzt geht es darum, wie man zeigt, dass eine Aussage wahr oder falsch ist. Das nennt man einen Beweis.
So gehen wir vor:
Mathematische Theorie besteht in der Regel aus
Es werden dann aus Axiomen, Definitionen und bereits bewiesenen Sätzen neue Sätze (Aussagen) abgeleitet.
Eine mathematische Theorie hat drei Zutaten. Grundbegriffe werden nicht weiter erklärt, etwa „Menge“ oder „Zahl“. Axiome sind Aussagen, die man ohne Beweis als wahr annimmt. Definitionen legen fest, was ein neues Wort bedeutet, etwa „gerade“.
Aus diesen Zutaten leitet man neue Aussagen her. Eine bewiesene Aussage heißt Satz. Jeder neue Satz darf alle Sätze benutzen, die schon bewiesen sind.
Mathematische Sätze müssen durch Beweise belegt werden. Ein Beweis ist eine korrekte Argumentationsfolge, aufgebaut aus logischen Verknüpfungen verschiedener Einzelaussagen.
Ein Beweis ist eine Kette von Argumenten. Jedes Glied folgt nach den Regeln der Logik aus dem vorigen. Am Anfang stehen Axiome, Definitionen oder schon bewiesene Sätze. Am Ende steht die Aussage, die man zeigen will.
Ein paar passende Beispiele sind kein Beweis. Sie machen eine Aussage nur glaubhaft. Erst der Beweis zeigt, dass sie immer gilt.