studyklar
Statistik · Probeklausur 2 · Aufgabe 2

Würfel: χ²-Anpassungstest

Ein Würfel aus „Mensch, ärgere dich nicht“ wird 120-mal geworfen. Die 6 fällt 31-mal, die 1 nur 12-mal. Ist das noch Zufall, oder ist der Würfel manipuliert? Das ist Aufgabe 2 der Probeklausur 2 (Übungsklausur 1 zu Teil 2 der Vorlesung), 13 von 90 Punkten. Gerechnet wird von Hand mit der Formelsammlung der Klausur. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 2 (13 Punkte)

Um zu prüfen, ob es bei dem Spiel „Mensch, ärgere dich nicht“ mit rechten Dingen zugeht, wird ein beliebiger Würfel des Spiels 120-mal gewürfelt und überprüft. Dabei wird folgendes Ergebnis erzielt:

ZahlAnzahl
112
215
325
414
523
631

Führen Sie unter Verwendung eines geeigneten Tests zur Überprüfung der Gleichverteilung aller Zahlen des Würfels mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 1 % durch. Ist der Würfel manipuliert?

Bei einem fairen Würfel hat jede Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/6. Man nennt das Gleichverteilung. Gesucht ist, ob die Wurfergebnisse zu dieser Gleichverteilung passen. Dafür gibt es einen Anpassungstest: Er prüft, ob beobachtete Häufigkeiten zu einer vorgegebenen Verteilung passen.

Der Test heißt χ²-Test (gesprochen „Chi-Quadrat“). Er fasst alle Abweichungen zwischen beobachtet und erwartet in einer Zahl zusammen, dem Prüfwert χ2\chi^2. Dann vergleicht er sie mit einer Grenze aus einer Tabelle.

Gesucht: das Ergebnis des Tests bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % und eine Antwort auf die Frage „Ist der Würfel manipuliert?“.

Merke: Der Test hat fünf Schritte: Hypothesen, Signifikanzniveau, Prüfwert berechnen, Tabellenwert nachschlagen, vergleichen.
  1. Hypothesen aufstellen und das Niveau festlegen (Schritte 1 und 2).
  2. Erwartete Häufigkeiten und den Prüfwert berechnen (Schritte 3 bis 5).
  3. Freiheitsgrade und Tabellenwert bestimmen, vergleichen (Schritte 6 bis 8).
  4. Ergänzung: dasselbe bei 5 % (Schritt 9).

Hypothesen aufstellen

Nullhypothese: der Würfel ist nicht manipuliert
H0:  p1=p2=⋯=p6=16H_0:\; p_1 = p_2 = \dots = p_6 = \tfrac{1}{6}
Alternativhypothese: der Würfel ist manipuliert
H1:  mindestens ein pi≠16H_1:\; \text{mindestens ein } p_i \ne \tfrac{1}{6}

Ein Test beginnt mit zwei Aussagen. Die Nullhypothese H0H_0 sagt: „Es ist nichts Besonderes los.“ Hier heißt das: Der Würfel ist fair, jede Zahl hat die Wahrscheinlichkeit pi=16p_i = \tfrac{1}{6} (ii ist die Zahl von 1 bis 6). Die Alternativhypothese H1H_1 sagt das Gegenteil.

Der Test geht von H0H_0 aus und fragt: Wie unwahrscheinlich wären die beobachteten Würfe, wenn H0H_0 stimmt? Nur wenn sie sehr unwahrscheinlich sind, verwirft man H0H_0. Das ist der erste der fünf Schritte.

Das passt zur Frage der Aufgabe: Es soll die Gleichverteilung geprüft werden, also ist sie die Nullhypothese.

Signifikanzniveau festlegen

Aus der Aufgabe: α = 1 %
α=1 %=0,01,1−α=1−0,01=0,99\alpha = 1\,\% = 0{,}01, \qquad 1 - \alpha = 1 - 0{,}01 = 0{,}99

Das Signifikanzniveau α\alpha (griechisch „alpha“) ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, die man höchstens in Kauf nimmt: Mit dieser Wahrscheinlichkeit verwirft man H0H_0, obwohl sie stimmt. Hier würde man also mit höchstens 1 % einen fairen Würfel fälschlich für manipuliert halten.

Die Aufgabe gibt α=1 %\alpha = 1\,\% vor. Als Dezimalzahl ist das 0,010{,}01. Die Tabelle im Schritt 7 ist nach 1−α1 - \alpha beschriftet, deshalb rechnen wir das jetzt aus: 0,990{,}99.

Noch 8 Schritte bis zum Ergebnis
Den ganzen Lösungsweg sehen Studierende und Lehrende der HS KL. Registriere dich mit deiner Adresse @stud.hs-kl.de oder @hs-kl.de, dann geht es hier direkt weiter.
Registrieren

Beobachtet und erwartet

oben die Würfe, unten die Skala des Prüfwerts

Abbildung 1Beobachtet und erwartet

oben die Würfe, unten die Skala des Prüfwerts

Würfe je Augenzahl121152253144235316erwartet: 203,21,251,251,80,456,05AugenzahlSkala des Prüfwerts χ²0510152014,015,08611,070 (5 %)AnnahmeAblehnungPrüfwert χ²
LegendeAnnahmebereichAblehnbereichOben: wie oft jede Augenzahl in 120 Würfen fiel. Bei einem fairen Würfel wären es überall etwa 20. Unten kommt später die Skala für den Prüfwert χ².