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Statistik · Probeklausur 2 · Aufgabe 5

Arbeitszeit und Aufstieg: Korrelation, Intervall, Test

Wer viel arbeitet, hofft auf einen schnellen Aufstieg zum Manager. Stimmt das? Fünf Nachwuchskräfte geben ihre Wochenarbeitszeit an und die Jahre bis zum Managerposten. Die Aufgabe prüft in vier Teilen, wie stark die beiden Größen zusammenhängen, wie genau dieser Wert ist, in welchem Bereich der wahre Zusammenhang liegt und ob er sich vom Zufall unterscheidet. Das ist Aufgabe 5 der Probeklausur 2 (Übungsklausur 1 zu Teil 2 der Vorlesung), 25 von 90 Punkten. Gerechnet wird von Hand mit den Tabellen der Formelsammlung der Klausur. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 5: (25 Punkte)

Wer viel arbeitet, erhofft sich eine steile Karriere im Unternehmen und einen möglichst zügigen Aufstieg zum Manager. Untersucht wird der Zusammenhang zwischen wöchentlicher Arbeitszeit (Schätzwert in Stunden) und Anzahl der Jahre bis zum Managerposten. Dazu wurden fünf High Potentials befragt:

Personwöchentliche Arbeitszeit (in Stunden) xᵢAnzahl der Jahre bis zum Managerposten yᵢ
Felix405
Sanja504
Marc603
Linus553
Pia355
Summe24020

a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r und interpretieren Sie ihn anschließend. (7 Punkte)
b) Berechnen Sie den Standardfehler. Anmerkung: Sollten Sie a) nicht gelöst haben, rechnen Sie mit r = −0,964 weiter. (3 Punkte)
c) Konstruieren Sie das 80%-Konfidenzintervall. (9 Punkte)
d) Führen Sie einen zweiseitigen Signifikanztest mit α = 10% durch und interpretieren Sie das Ergebnis. D.h., dass die folgende Nullhypothese zu prüfen ist: H0: der wahre Zusammenhang in der Population ist ρ = 0. (6 Punkte)

Zu jeder der fünf Personen gibt es zwei Zahlen: die wöchentliche Arbeitszeit in Stunden xix_i und die Zahl der Jahre bis zum Managerposten yiy_i. Gesucht ist, ob beide Zahlen zusammenhängen. Ein Maß dafür ist der Korrelationskoeffizient rr. Er liegt immer zwischen −1 und +1: Bei +1 steigt yy mit xx genau auf einer Geraden, bei −1 fällt yy, bei 0 gibt es keinen linearen Zusammenhang.

Die fünf Personen sind nur eine Stichprobe aus allen High Potentials. Darum fragt die Aufgabe nach vier Dingen:

  1. a) Wie groß ist rr, und was bedeutet das (Schritte 1 bis 4)?
  2. b) Wie genau ist dieses rr? Das sagt der Standardfehler (Schritt 5).
  3. c) In welchem Bereich liegt der wahre Zusammenhang ρ\rho (griechisch „rho“) in der Grundgesamtheit? Das ist das 80 %-Konfidenzintervall (Schritte 6 bis 10).
  4. d) Kann der wahre Zusammenhang auch 0 sein? Das prüft ein Signifikanztest mit α=10 %\alpha = 10\,\% (Schritte 11 bis 13).
Merke: rr ist der Wert der Stichprobe, ρ\rho der wahre Wert in der Grundgesamtheit. Standardfehler, Intervall und Test sagen, wie weit man vom einen auf das andere schließen darf.
Aus Probeklausur 1, Aufgabe 4 („Restaurants: Regressionsgerade, Bestimmtheitsmaß, Korrelation“): Der Korrelationskoeffizient rr misst, wie gut die Punkte auf einer Geraden liegen. Sein Vorzeichen zeigt die Richtung, sein Betrag die Stärke: ab 0,1 schwach, ab 0,3 mittel, ab 0,5 stark.

Die beiden Mittelwerte

Mittelwert der Arbeitszeit (Summe aus der Tabelle: 240)
xˉ=1n∑i=1nxi=2405=48\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{240}{5} = 48
Mittelwert der Jahre (Summe aus der Tabelle: 20)
yˉ=1n∑i=1nyi=205=4\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{20}{5} = 4

Der Korrelationskoeffizient vergleicht, wie jede Person von den Mittelwerten abweicht. Darum braucht man zuerst die beiden Mittelwerte: die mittlere Arbeitszeit xˉ\bar{x} und die mittlere Zahl Jahre yˉ\bar{y}. Das xˉ\bar{x} spricht man „x quer“.

Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Zahl der Werte, n=5n = 5. Die Summen stehen schon am Fuß der Tabelle: 240 Stunden und 20 Jahre.

In der Grafik kreuzen sich die gestrichelten Linien im Punkt (48 | 4). Das ist die Mitte der Daten.

Abweichungen und ihre Produkte in einer Tabelle

Personxix_iyiy_ixi−xˉx_i - \bar{x}yi−yˉy_i - \bar{y}(xi−xˉ)(yi−yˉ)(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})(xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2(yi−yˉ)2(y_i - \bar{y})^2
Felix405−81−8641
Sanja50420040
Marc60312−1−121441
Linus5537−1−7491
Pia355−131−131691
Summe2402000−404304

Für jede Person wird bestimmt, wie weit sie vom Mittelwert entfernt liegt: bei den Stunden xi−xˉx_i - \bar{x}, bei den Jahren yi−yˉy_i - \bar{y}. Ein Beispiel ist Felix: 40−48=−840 - 48 = -8 Stunden und 5−4=15 - 4 = 1 Jahr.

Die beiden Abweichungen werden miteinander multipliziert. Das Produkt ist negativ, wenn die Person bei einer Größe über, bei der anderen unter dem Mittelwert liegt (Felix: −8⋅1=−8-8 \cdot 1 = -8). Es ist positiv, wenn beide Abweichungen dasselbe Vorzeichen haben. Überwiegen die negativen Produkte, gehören hohe Stunden zu niedrigen Jahren.

Zusätzlich werden beide Abweichungen einzeln quadriert. Die Quadrate messen die Streuung und gehen in die Formel für rr ein. Alle Spalten werden unten summiert. In der Grafik zeigen die Linien von jedem Punkt zum Kreuz diese Abweichungen.

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Punkte und Korrelationsachse

oben die fünf Personen, unten r von −1 bis +1

Abbildung 1Punkte und Korrelationsachse

oben die fünf Personen, unten r von −1 bis +1

Jahre bis zum Managerposten2345630405060Stunden pro Wochex̄ = 48ȳ = 4Produkt −Produkt −Korrelationskoeffizient r−1−0,500,51r = −0,964Standardfehler 0,03580 %: −0,994 bis −0,797ρ = 0 (H0)
LegendePunkte, Wert r, IntervallProdukt der Abweichungen negativOben: die fünf Personen als Punkte, rechts mehr Arbeitsstunden, oben mehr Jahre bis zur Managerstelle. Unten: die Achse für den Korrelationskoeffizienten r von −1 bis +1.