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Statistik · Probeklausur 3 · Aufgabe 1

Auslandstage: Konfidenzintervall, Punkt- und Intervallschätzung

Wie viele Tage im Jahr verbringen Studierende im Ausland? Befragt wurden nur 50. Die Aufgabe zeigt, wie man aus so einer kleinen Gruppe auf alle Studierenden schließt und wie sicher dieser Schluss ist. Das ist Aufgabe 1 der Probeklausur 3. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 1: (18 Punkte)

Aufgrund der internationalen Ausrichtung der Hochschule Kaiserslautern wurde eine Gruppe von 50 Studierenden eines BA-Studiengangs befragt, an wie vielen Tagen pro Jahr sie außerhalb Deutschlands sind. Die Befragung ergab, dass dieses im Schnitt an 40 Tagen der Fall war. Eine Standardabweichung von s=4s = 4 wurde ermittelt. D.h., dass hier die Standardabweichung σσ unbekannt ist und aus der Stichprobe durch ss geschätzt wurde.

a) Berechnen Sie den Standardfehler und den relativen Standardfehler. Interpretieren Sie die Werte anschließend. (5 Punkte)

b) Konstruieren und interpretieren Sie das 90%-Konfidenzintervall. (5 Punkte)

c) Erklären Sie kurz, was sich in der Beantwortung der Frage b) ändern würde, falls die Daten aus einer Gruppe von 20 Studierenden erhoben worden wären. Sie müssen hier nicht rechnen! (2 Punkte)

d) Erklären Sie die Motivation im Allgemeinen, Konfidenzintervalle zu bestimmen. Grenzen Sie dabei Punktschätzungen von Intervallschätzungen ab und gehen auf Vor- und Nachteile ein. (6 Punkte)

Eine Gruppe von 50 Studierenden wurde gefragt, an wie vielen Tagen pro Jahr sie im Ausland sind. Im Mittel waren es 40 Tage, die Standardabweichung der Antworten ist 4 Tage. Diese Gruppe ist eine Stichprobe. Gemeint sind aber alle Studierenden (die Population): Wie viele Tage sind sie im Mittel im Ausland?

Die Standardabweichung der ganzen Population ist unbekannt. Man schätzt sie durch die Standardabweichung ss der Stichprobe. Darauf weist die Aufgabe ausdrücklich hin.

Gesucht sind vier Dinge, mit den Punkten der Klausur (zusammen 18):

  • a) 5 Punkte: Standardfehler und relativen Standardfehler berechnen und deuten.
  • b) 5 Punkte: das 90-%-Konfidenzintervall bilden und deuten.
  • c) 2 Punkte: in Worten sagen, was sich in b) bei 20 statt 50 Studierenden ändert.
  • d) 6 Punkte: erklären, wozu man Konfidenzintervalle bestimmt, Punkt- und Intervallschätzung abgrenzen, Vor- und Nachteile nennen.

„Deuten“ heißt: ein ganzer Satz im Sachzusammenhang, mit Einheit (hier: Tage).

Der Weg:

  1. a) Standardfehler mit der Formel aus der Formelsammlung, dann relativ (Schritte 1 bis 5).
  2. b) Konfidenzniveau festlegen, z-Wert ablesen, Grenzen berechnen (Schritte 6 bis 9).
  3. c) Standardfehler und Tabellenwert bei 20 Studierenden (Schritte 10 und 11).
  4. d) Punktschätzung, Intervallschätzung, Vor- und Nachteile (Schritte 12 bis 14).
Merke: Ein Konfidenzintervall ist „Mittelwert ± Tabellenwert · Standardfehler“. Daraus folgt alles: Ein kleinerer Standardfehler oder ein niedrigeres Niveau macht das Intervall schmaler.

Warum es einen Fehler gibt

GrößeZeichenWert
Stichprobengröße (Befragte)nn50
Mittelwert der Stichprobe (Tage)xˉ\bar{x}40
Standardabweichung der Stichprobe (Tage)ss4
wahrer Mittelwert aller Studierendenμμunbekannt

Der Mittelwert xˉ=40\bar{x} = 40 (sprich „x quer“) gilt nur für diese 50 Studierenden. Der wahre Mittelwert μμ (sprich „mü“) aller Studierenden ist unbekannt. Befragte man andere 50, bekäme man einen anderen Mittelwert, vielleicht 39,6 oder 40,8.

Der Stichprobenmittelwert schwankt also von Stichprobe zu Stichprobe. Das ist kein Fehler beim Messen, sondern der Zufall bei der Auswahl. Die Kurve in der Grafik zeigt diese Schwankung: Die meisten Stichprobenmittelwerte liegen nah beim wahren Mittelwert, wenige weit davon entfernt.

Die Frage in a) lautet: Wie stark schwankt der Stichprobenmittelwert typischerweise? Genau das misst der Standardfehler.

Der Standardfehler: die Formel

Standardfehler bei unbekanntem σ (Formelsammlung, Seite 11)
SE=σ^Xˉ=snSE = \hat{\sigma}_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}

ss ist die Standardabweichung der Stichprobe, nn die Zahl der Befragten.

Der Standardfehler (englisch standard error, Abkürzung SESE) sagt, um wie viele Tage ein Stichprobenmittelwert im Durchschnitt vom Mittelwert der Population abweicht.

Die Formelsammlung kennt zwei Fälle. Ist die Standardabweichung σσ der Population bekannt, teilt man σσ durch n\sqrt{n}. Hier ist sie unbekannt, also nimmt man die Standardabweichung ss der Stichprobe als Schätzwert. Darum steht in der Formel ss.

Warum durch n\sqrt{n}? Je mehr Personen man befragt, desto mehr Zufälle gleichen sich im Mittelwert aus. Der Standardfehler sinkt mit wachsendem nn. Vervierfacht man nn, halbiert er sich.

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Wie genau ist der Mittelwert?

Verteilung der Stichprobenmittelwerte um den wahren Mittelwert

Abbildung 1a) Standardfehler und relativer Standardfehler (5 Punkte)

wie weit der Stichprobenmittelwert vom wahren Mittelwert abweichen kann

3839404142Tage im Ausland pro JahrMittelwert 4040 − 0,5740 + 0,5790 %5 %5 %c_u = 39,07c_o = 40,9338,4541,55Punktschätzung 40
Legendegetönt: die mittleren 90 % der Stichprobenmittelwertevioletter Balken: Konfidenzintervallrot gestrichelt: ein StandardfehlerVerteilung des Stichprobenmittelwerts bei 50 Studierenden: breit gestreut wäre sie ungenau, schmal ist sie genau.