Physik-LK: Lernzeit und Note, Korrelation mit Intervall und Test

Die Aufgabe

Aufgabe 2: (17 Punkte)

Um den zeitlichen Aufwand für die Abiturprüfungen im Physik-LK einzuschätzen, hat man alle Schüler/innen eines Jahrgangs befragt, wie viele Stunden im letzten Monat vor der Prüfung für die Abiturklausur gelernt wurde. Leider haben nur 5 Schüler/innen den Physik-LK gewählt, so dass folgende Daten vorliegen. Erinnerung: 15 Punkte entspricht der Note 1+.

Person	monatlicher Aufwand (in Stunden) x	Note (1 bis 15 Punkte)
Julia	50	12
Dennis	45	15
Mirja	41	9
Jan	20	7
Stefanie	29	5
Summe	185	48

Den Korrelationskoeffizienten hat Ihnen Ihr Dozent bereits netterweise ausgerechnet. Dieser lautet $r = 0{,}78$ .

a) Interpretieren Sie kurz r=0,78 und berechnen den Standardfehler. (3 Punkte)

b) Konstruieren Sie das 95%-Konfidenzintervall. (7 Punkte)

c) Führen Sie einen zweiseitigen Signifikanztest mit α = 10% durch und interpretieren Sie das Ergebnis. D.h., dass die folgende Nullhypothese zu prüfen ist: H0: der wahre Zusammenhang in der Population ist ρ = 0. (5 Punkte)

d) Wie wäre die Antwort, wenn Sie Aufgabe c) mit α = 20% durchführen. (2 Punkte)

Man hat fünf Schüler des Physik-Leistungskurses gefragt, wie viele Stunden sie im letzten Monat für das Abitur gelernt haben, und ihre Note in Punkten notiert (15 Punkte sind die Note 1+). Der Korrelationskoeffizient $r$ misst, wie stark die beiden Größen zusammenhängen: Er liegt zwischen −1 und +1. Die Aufgabe gibt ihn vor: $r = 0{,}78$ .

Die fünf Schüler sind nur eine Stichprobe. Gefragt ist, was man daraus über die ganze Population (alle möglichen Schüler) schließen kann. Der Zusammenhang in der Population heißt $ρ$ („rho“).

Gesucht sind vier Dinge (zusammen 17 Punkte):

a) 3 Punkte: $r$ deuten und den Standardfehler berechnen.
b) 7 Punkte: das 95-%-Konfidenzintervall für $ρ$ .
c) 5 Punkte: zweiseitiger Test mit α = 10 %, ob $ρ = 0$ .
d) 2 Punkte: dasselbe mit α = 20 %.

Der Weg:

a) Stärke von r deuten, Standardfehler berechnen (Schritte 1 bis 3).
b) Intervall in drei Umrechnungen über Fisher-z (Schritte 4 bis 8).
c) Test mit α = 10 % in fünf Testschritten (Schritte 9 bis 12).
d) Derselbe Test mit α = 20 % (Schritt 13).

Merke: Das Konfidenzintervall der Korrelation rechnet über Fisher-z, weil

r

nicht symmetrisch verteilt ist. Der Test auf

ρ = 0

rechnet

r

in einen t-Wert um.

Die Daten und die gegebene Korrelation

Größe	Wert
Korrelationskoeffizient der Stichprobe r	0,78
Stichprobengröße n (Schüler)	5

Die Grafik zeigt jeden Schüler als Punkt. Die Punkte liegen grob auf einer steigenden Linie, aber nicht genau. Die Korrelation $r$ fasst das in einer Zahl zusammen: $r = 1$ hieße alle Punkte exakt auf einer steigenden Geraden, $r = 0$ gar kein linearer Zusammenhang, $r = -1$ eine fallende Gerade.

Die Aufgabe gibt $r = 0{,}78$ vor. Nachgerechnet kommt man auf 0,784, also gerundet 0,78. Wir rechnen mit dem vorgegebenen Wert. Die Stichprobengröße ist $n = 5$ .

Interpretation von r = 0,78

Zwischen den Lernstunden und der Note besteht in der Stichprobe ein starker positiver linearer Zusammenhang: Wer mehr gelernt hat, hat tendenziell mehr Punkte erreicht.

Das Vorzeichen gibt die Richtung an: Plus heißt, dass höhere Lernzeit mit höheren Punkten einhergeht. Der Betrag gibt die Stärke an. Nach der Einteilung des Kurses gilt ab 0,1 ein schwacher, ab 0,3 ein mittlerer und ab 0,5 ein starker Zusammenhang. 0,78 ist also stark.

Vorsicht: Eine Korrelation beschreibt einen Zusammenhang, keine Ursache. Und mit nur fünf Schülern ist die Zahl unsicher. Das zeigt der Standardfehler im nächsten Schritt.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Daten und die gegebene Korrelation

Schritt 2Interpretation von r = 0,78

Lernzeit und Note

Abbildung 1a) Deutung und Standardfehler von r (3 Punkte)

Die Aufgabe

Die Daten und die gegebene Korrelation

Interpretation von r = 0,78