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Statistik · Probeklausur 3 · Aufgabe 5

Restaurants: multiple Regression mit F-Test und t-Tests

Hängt der Umsatz eines Restaurants von der Einwohnerzahl der Stadt und von der Größe des Lokals ab? Fünf Restaurants liefern die Daten. Die Aufgabe führt durch die Regression mit zwei Einflussgrößen: Matrizen, Tabelle, Bestimmtheitsmaß, zwei Tests und den Standardfehler. Das ist Aufgabe 5 der Probeklausur 3. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 5: (30 Punkte)

Eine Hamburger Unternehmerin besitzt 5 Restaurants unterschiedlicher Größe in Städten mit unterschiedlichen Einwohnerzahlen. Sie vermutet, dass ein signifikanter Zusammenhang zwischen Einwohnerzahl, Größe eines Restaurants und dem jeweiligen Umsatz besteht.

Einwohner in 100.000 x1x_1Größe in 10 m² x2x_2Umsatz in 1.000 Euro yygeschätzter Umsatz y^\hat{y}Gesamt­streuung (y−yˉ)2(y - \bar{y})^2erklärte Streuung (y^−yˉ)2(\hat{y} - \bar{y})^2
3102529,570,0020,89
483024,5825,000,17
5620???
873331,3464,0040,23
8417?64,0026,01
2835125???

(Eine schmale leere Trennspalte zwischen den Spalten ist weggelassen.)

Die Regressionsgerade hat Ihr Dozent netterweise für Sie bestimmt. Diese lautet:

y^=−16,5+2,64 x1+3,81 x2\hat{y} = -16{,}5 + 2{,}64\,x_1 + 3{,}81\,x_2

a) Erklären Sie kurz, wie Ihr Dozent die Regressionsgerade bestimmt hat und geben dazu in der folgenden Gleichung b=(XTX)−1XTyb = (X^T X)^{-1} X^T y die expliziten Matrizen bzw. Vektoren XX, yy und bb an. (3)

b) Vervollständigen Sie die obere Tabelle. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. (7)

c) Interpretieren Sie die Werte für b1b_1 und b2b_2 in der Regressionsgeraden. (3)

d) Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß. (3)

e) Ist der ermittelte Zusammenhang signifikant, wenn α = 5% gilt? (5)

Hinweis: Sollten Sie d) nicht gelöst haben, rechnen Sie mit der Näherung r2=0,7r^2 = 0{,}7 weiter.

f) Sind die einzelnen Regressionskoeffizienten signifikant, wenn α = 5% gilt? Hinweis: sb1=1,2s_{b_1} = 1{,}2 und sb2=1,24s_{b_2} = 1{,}24 (5)

g) Berechnen Sie den Standardfehler und relativen Standardfehler. (4)

Eine Unternehmerin hat 5 Restaurants. Zu jedem gibt es drei Zahlen: die Einwohner der Stadt x1x_1 (in 100.000), die Größe des Lokals x2x_2 (in 10 m²) und den Umsatz yy (in 1.000 Euro). x1=3x_1 = 3 heißt 300.000 Einwohner, x2=10x_2 = 10 heißt 100 m², y=25y = 25 heißt 25.000 Euro.

Eine multiple Regression schätzt den Umsatz aus mehreren Einflussgrößen zugleich: y^=b0+b1x1+b2x2\hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2. Die Gerade ist gegeben. Die Tabelle ist halb ausgefüllt (im Original leer, hier mit „?“ markiert). Sie ist mit Probeklausur 1, Aufgabe 4 verwandt, hat aber zwei Einflussgrößen und andere Werte.

Gesucht sind sieben Dinge (zusammen 30 Punkte):

  • a) 3 Punkte: erklären, wie die Gerade bestimmt wurde, mit den Matrizen XX, yy, bb.
  • b) 7 Punkte: die Tabelle vervollständigen (zwei Nachkommastellen).
  • c) 3 Punkte: b1b_1 und b2b_2 deuten.
  • d) 3 Punkte: das Bestimmtheitsmaß berechnen und deuten.
  • e) 5 Punkte: F-Test: Ist der Zusammenhang insgesamt signifikant (α = 5 %)?
  • f) 5 Punkte: t-Tests: Sind die einzelnen Koeffizienten signifikant (α = 5 %)?
  • g) 4 Punkte: Standardfehler und relativen Standardfehler berechnen.

Zur Tabelle: Die gegebenen Werte der Tabelle wurden mit genaueren Koeffizienten gerechnet als den gedruckten. Mit −16,5+2,64⋅3+3,81⋅10-16{,}5 + 2{,}64 \cdot 3 + 3{,}81 \cdot 10 käme für Zeile 1 nicht 29,57, sondern 29,52 heraus. Wir rechnen mit den genauen Koeffizienten (Schritt 4 oben), dann passt alles zur Tabelle. Zwei gegebene Werte sind abgeschnitten statt gerundet (24,58 statt 24,59 und 20,89 statt 20,90); wir lassen sie wie gegeben stehen.

Der Weg: a) Schritte 1 bis 4. b) Schritte 5 bis 9. c) Schritt 10. d) Schritt 11. e) Schritte 12 bis 15. f) Schritte 16 bis 19. g) Schritte 20 und 21.

Merke: Die Tabelle liefert beide Quadratsummen. Aus ihnen folgen das Bestimmtheitsmaß, der F-Test und der Standardfehler.

Das Modell mit zwei Einflussgrößen

Regressionsgerade der Aufgabe, mit den Zahlen des Dozenten
y^=b0+b1x1+b2x2=−16,5+2,64 x1+3,81 x2\hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 = -16{,}5 + 2{,}64\,x_1 + 3{,}81\,x_2

Bei der Einfachregression erklärt eine Größe xx die Zielgröße yy. Hier erklären zwei Größen den Umsatz: die Einwohnerzahl x1x_1 und die Restaurantgröße x2x_2. Das ist eine multiple Regression (multiple heißt „mehrfach“).

Die Zahlen der Gleichung haben feste Namen:

  • b0b_0 ist der Achsenabschnitt (der geschätzte Umsatz bei x1=x2=0x_1 = x_2 = 0), hier −16,5.
  • b1b_1 und b2b_2 sind die Regressionskoeffizienten: die Gewichte der beiden Einflussgrößen.
  • K=5K = 5 ist die Zahl der Beobachtungen (Restaurants), J=2J = 2 die Zahl der erklärenden Größen.

Die Idee: Kleinste Quadrate

Kleinste-Quadrate-Methode: b0, b1, b2 so wählen, dass die Summe minimal ist
∑i=15(yi−(b0+b1xi1+b2xi2))2  →  min⁡\sum_{i=1}^{5}\bigl(y_i - (b_0 + b_1 x_{i1} + b_2 x_{i2})\bigr)^2 \;\to\; \min

Keine Gerade geht durch alle fünf Datenpunkte. Für jedes Restaurant gibt es einen Fehler: den Abstand zwischen dem beobachteten Umsatz yiy_i und dem Schätzwert y^i\hat{y}_i der Geraden. Dieser Abstand heißt Residuum.

Der Dozent hat die Koeffizienten so gewählt, dass die Summe der quadrierten Residuen am kleinsten ist. Das heißt Kleinste-Quadrate-Methode. Man quadriert, damit sich Plus und Minus nicht aufheben und große Fehler stärker zählen.

Aus Probeklausur 1, Aufgabe 4 („Restaurants: Regressionsgerade, Bestimmtheitsmaß, Korrelation“): Bei einer Einfachregression wurde dieselbe Methode benutzt: die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten senkrechten Abstände.
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Umsatz und Schätzwert

fünf Restaurants

Abbildung 1a) Wie die Gerade bestimmt wurde (3 Punkte)

Kleinste-Quadrate-Methode in Matrizenschreibweise

0102030Umsatz in 1.000 Euro25Zeile 130Zeile 220Zeile 333Zeile 417Zeile 5Mittelwert 25Schätzwert 19,60Schätzwert 19,90−5−5,40−8−5,10−4,57+5,41+0,40+1,66−2,90
Legendeviolett: Umsatz; dunkler Strich: Schätzwert; violetter Strich rechts: erklärte Abweichunggrüner Strich links: Gesamtabweichungrot gestrichelt: RestUmsatz der fünf Restaurants in 1.000 Euro.