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Statistik · Probeklausur 4 · Aufgabe 2

Biergärten: Einfachregression und R²

Ein Gastwirt besitzt fünf Biergärten in Städten verschieden großer Einwohnerzahl. Hängt der Umsatz mit der Einwohnerzahl zusammen? Eine gegebene Gerade schätzt den Umsatz aus der Einwohnerzahl. Erklärt wird, nach welcher Idee man diese Gerade findet, wie man die Tabelle vervollständigt und wie gut die Gerade passt. Das ist Aufgabe 2 der Probeklausur 4 (Gesamtklausur zu Teil 1 und 2 der Vorlesung), mit 17 von 120 Punkten, gerechnet von Hand. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 2: (17 Punkte)

Ein pfälzischer Gastwirt besitzt 5 Biergärten unterschiedlicher Größe in Städten mit unterschiedlichen Einwohnerzahlen. Sie vermutet, dass ein signifikanter Zusammenhang zwischen Einwohnerzahl und dem jeweiligen Umsatz besteht.

Einwohner in 100.000: xUmsatz in 1.000 Euro: ygeschätzter Umsatz in 1.000 Euro: ŷGesamtstreuung (y − ȳ)²erklärte Streuung (ŷ − ȳ)²
386,47111,082
4118,8481,440,906
56
82018,356104,0473,205
244,09433,6432,558
2249

Die Regressionsgerade hat Ihr Dozent netterweise für Sie bestimmt. Diese lautet: y^=−0,66+2,377 x\hat{y} = -0{,}66 + 2{,}377\,x

  1. Erklären Sie kurz, wie Ihr Dozent die Regressionsgerade bestimmt hat. Welche Grundüberlegung bzw. welcher Ansatz liegt dem zugrunde? Sie müssen hier nicht rechnen! (4 Punkte)
  2. Vervollständigen Sie die obere Tabelle. Runden Sie auf drei Nachkommastellen. (7 Punkte)
  3. Interpretieren Sie präzise den Wert der Steigung der Regressionsgeraden. (3 Punkte)
  4. Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß. (3 Punkte)

Probeklausur, Gesamtklausur Teil 1 und 2. Zeit: 120 Minuten, Gesamtpunktzahl: 120. Hilfsmittel: Formelsammlung, nicht programmierbarer Taschenrechner.

In eigenen Worten: Zu jedem der 5 Biergärten gibt es zwei Zahlen: die Einwohner der Stadt xx (in 100.000) und den Umsatz yy (in 1.000 Euro). Die Regressionsgerade ist eine Gerade, mit der man aus xx einen Umsatz y^\hat{y} („y Dach“) schätzt. Die Gerade ist gegeben, die Tabelle ist unvollständig.

Teilwas verlangt istPunkte
a)in Worten erklären, nach welcher Idee die Gerade bestimmt wird4
b)die Tabelle ausfüllen (drei Nachkommastellen)7
c)die Steigung im Sachzusammenhang deuten3
d)das Bestimmtheitsmaß berechnen und deuten3
Merke: Die Gerade ist nur ein Schätzer. Die Tabelle misst, wie weit die Umsätze um ihren Mittelwert streuen (Gesamtstreuung) und wie viel davon die Gerade abbildet (erklärte Streuung). Das Verhältnis ist das Bestimmtheitsmaß.

Der Weg:

  1. Die Idee der Geraden: kleinste Quadrate (a, Schritte 1 und 2).
  2. Die Tabelle: Mittelwert, dann Zeile für Zeile, dann die Summen (b, Schritte 3 bis 7).
  3. Die Steigung 2,377 deuten (c, Schritt 8).
  4. Erklärte durch Gesamtstreuung teilen (d, Schritte 9 und 10).

Die beste Gerade: Abstände klein halten

xyŷResiduum y − ŷ
386,4711,529
4118,8482,152
5611,225−5,225
82018,3561,644
244,094−0,094

Die fünf Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Man kann aber sehr viele Geraden durch die Punktwolke legen. Welche ist die beste? Das braucht ein Maß dafür, wie schlecht eine Gerade zu den Punkten passt.

Dazu betrachtet man bei jedem Biergarten den senkrechten Abstand zwischen dem echten Umsatz yiy_i und dem Schätzwert y^i\hat{y}_i auf der Geraden. Er heißt Residuum eie_i (Rest, den die Gerade nicht trifft). Senkrecht misst man, weil yy der Wert ist, den man vorhersagen will.

Beispiel Biergarten 3 mit x=5x = 5: Die Gerade schätzt 11,225, der echte Umsatz ist 6. Das Residuum ist 6−11,225=−5,2256 - 11{,}225 = -5{,}225. Der Punkt liegt weit unter der Geraden.

Die Summe der quadrierten Abstände soll minimal sein

Das Ziel der Methode der kleinsten Quadrate
∑i=15(yi−y^i)2  =  ∑i=15(yi−a−b xi)2  →  mo¨glichst klein\sum_{i=1}^{5} \bigl(y_i - \hat{y}_i\bigr)^2 \;=\; \sum_{i=1}^{5} \bigl(y_i - a - b\,x_i\bigr)^2 \;\to\; \text{möglichst klein}

Antwort: kleinste Quadrate: die Summe der quadrierten senkrechten Abstände soll minimal werden.

Die Abstände einfach zu addieren geht nicht: Positive und negative heben sich auf, und eine falsche Gerade könnte Summe 0 haben. Darum quadriert man jeden Abstand, dann ist alles positiv. Große Abstände zählen dabei viel stärker.

Der Ansatz des Dozenten ist die Methode der kleinsten Quadrate: Man wählt die Gerade, bei der ∑(yi−y^i)2\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 am kleinsten ist. In der Grafik ist das die Fläche aller roten Quadrate. Aus dieser Forderung folgen die Formeln der Formelsammlung für Steigung und Achsenabschnitt: Man muss sie hier nicht rechnen.

Antwort für a): Der Dozent hat die Gerade so gelegt, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände der Punkte zur Geraden möglichst klein ist.

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Biergärten und Gerade

Streudiagramm mit Regressionsgerade

Abbildung 1Biergärten und Gerade

Streudiagramm mit Regressionsgerade

05101520Umsatz y in 1.000 Euro0123456789Einwohner x in 100.000ȳ = 9,8−5,225ŷ = 11,225+1+2,377
LegendeLinie: Regressionsgeraderot: Abstand zur Geraden und Quadrat darüberJeder Punkt ist ein Biergarten: waagerecht die Einwohner der Stadt in 100.000, senkrecht der Umsatz in 1.000 Euro. Die Linie ist die gegebene Regressionsgerade ŷ = −0,66 + 2,377x.