Aufschlag und Körpergröße: Korrelationstest

Die Aufgabe

Aufgabe 6 (17 Punkte)

Ihr Dozent hat in seinem Tennisverein bei 5 Personen die Aufschlaggeschwindigkeit gemessen und die Körpergröße erfragt, da er vermutet, dass die Geschwindigkeit des Aufschlags positiv mit der Körpergröße korreliert. Folgende Daten wurden erhoben:

Spieler	Körpergröße in cm	Aufschlaggeschwindigkeit in km/h
1	180	176
2	194	185
3	171	161
4	179	165
5	198	200
Summe	922	887

Den Korrelationskoeffizienten hat Ihnen Herr Heitmann bereits netterweise ausgerechnet. Dieser lautet r = 0,95.

Interpretieren Sie kurz r = 0,95 und berechnen den Standardfehler. (3 Punkte)
Konstruieren Sie das 95%-Konfidenzintervall. (7 Punkte)
Führen Sie einen zweiseitigen Signifikanztest mit α = 5% durch und interpretieren Sie das Ergebnis. D.h., dass die folgende Nullhypothese zu prüfen ist: H0: der wahre Zusammenhang in der Population ist ρ = 0. Es sind hier die üblichen 5 Schritte eines Hypothesentests durchzuführen. (5 Punkte)
Wie wäre die Testentscheidung, wenn Sie Aufgabe c) mit α = 1% durchführen. (2 Punkte)

Probeklausur, Gesamtklausur Teil 1 und 2. Zeit: 120 Minuten, Gesamtpunktzahl: 120. Hilfsmittel: Formelsammlung, nicht programmierbarer Taschenrechner.

Die Klausur dauert 120 Minuten und bringt 120 Punkte, also etwa eine Minute je Punkt. Erlaubt sind die Formelsammlung und ein Taschenrechner, der sich nicht programmieren lässt.

In eigenen Worten: Fünf Spieler sind eine kleine Stichprobe. Der Korrelationskoeffizient $r$ beschreibt nur diese fünf. Gefragt ist, ob der Zusammenhang auch in der Population gilt, also bei allen Tennisspielern. Dieser wahre Zusammenhang heißt $\rho$ (gesprochen „rho“). Man kann ihn nicht messen, nur aus $r$ schätzen.

Teil	was verlangt ist	Punkte
a)	r = 0,95 in Worten deuten, Standardfehler von r ausrechnen	3
b)	Bereich, in dem das wahre ρ mit 95 % Sicherheit liegt	7
c)	Test: kann ρ = 0 sein? Niveau 5 %, die 5 Schritte	5
d)	derselbe Test bei Niveau 1 %	2

Merke: Ein Konfidenzintervall und ein Test beantworten dieselbe Frage von zwei Seiten. Das Intervall nennt alle Werte von ρ, die zu den Daten passen. Der Test fragt nur, ob der Wert 0 dazugehört.

Der Weg:

r deuten und den Standardfehler berechnen (a, Seitenschritte 1 und 2).
r in Fisher-z umrechnen, dort das Intervall bilden, zurückrechnen (b, Seitenschritte 3 bis 7).
Die 5 Schritte des Tests: Hypothesen bis Entscheidung (c, Seitenschritte 8 bis 11).
Das Niveau auf 1 % verschärfen (d, Seitenschritt 12).

Was r = 0,95 aussagt

a) · 3 Punkte. Verlangt sind eine Deutung von r und der Standardfehler.

Größe	Wert
Körpergröße im Mittel	922 : 5 = 184,4 cm
Geschwindigkeit im Mittel	887 : 5 = 177,4 km/h
Richtung von r	positiv
Stärke von r	0,95: sehr stark
$r^2$	0,95² = 0,9025

Der Korrelationskoeffizient $r$ misst, wie gut die Punkte eines Streudiagramms auf einer Geraden liegen. Er hat zwei Eigenschaften:

Das Vorzeichen zeigt die Richtung. Plus heißt: Wenn die eine Größe steigt, steigt die andere im Mittel auch.
Der Betrag zeigt die Stärke. Er liegt zwischen 0 und 1. Bei 0 gibt es keinen geraden Zusammenhang, bei 1 liegen alle Punkte genau auf einer Geraden.

Hier ist $r = 0{,}95$ positiv und sehr nah an 1. Das Streudiagramm zeigt es: Die Punkte steigen eng an einer Geraden entlang.

Deutung in einem Satz: Bei diesen fünf Spielern gibt es einen sehr starken positiven linearen Zusammenhang. Größere Spieler schlagen im Mittel schneller auf.

Zwei Grenzen der Aussage: Sie gilt erst einmal nur für die fünf Spieler. Und sie sagt nichts über Ursache und Wirkung. Das Quadrat $r^2 = 0{,}9025$ heißt Bestimmtheitsmaß: Gut 90 % der Streuung der Geschwindigkeiten lässt sich über die Gerade mit der Größe erklären.

Probe: Aus den fünf Wertepaaren ergibt sich $r = 0{,}9504$ . Das stimmt auf zwei Stellen mit dem Wert der Aufgabe überein.

Standardfehler von r

Standardfehler aus der Formelsammlung

\hat{\sigma}_r = \frac{1 - r^2}{\sqrt{n - 1}}

Zahlen einsetzen: r = 0,95, n = 5

\hat{\sigma}_r = \frac{1 - 0{,}95^2}{\sqrt{5 - 1}} = \frac{1 - 0{,}9025}{\sqrt{4}} = \frac{0{,}0975}{2} = 0{,}04875 \approx 0{,}049

Ein anderer Verein hätte andere fünf Spieler und damit ein anderes $r$ . Der Standardfehler sagt, um wie viel $r$ im Durchschnitt vom wahren $\rho$ abweicht. Je kleiner, desto verlässlicher ist $r$ .

Die Formelsammlung gibt die Formel unter „Zusammenhangshypothesen“. Sie enthält $\rho$ , das man nicht kennt. Man setzt dafür den Schätzwert $r$ ein. $n = 5$ ist die Zahl der Spieler.

Reihenfolge beim Rechnen: zuerst $r^2$ , dann $1 - r^2$ , dann die Wurzel im Nenner, zuletzt teilen. Die Formel hat keine Wurzel über dem Zähler: So steht sie in der Formelsammlung.

Deutung: Bei der Übertragung auf alle Spieler irrt man sich im Durchschnitt um rund 0,05 bei r. Das ist wenig. Der Wert ist so klein, weil r nahe bei 1 liegt: Dann ist $1 - r^2$ klein.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was r = 0,95 aussagt

Schritt 2Standardfehler von r

Streudiagramm

Abbildung 1Streudiagramm

Die Aufgabe

Was r = 0,95 aussagt

Standardfehler von r