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Statistik · Probeklausur 4 · Aufgabe 7

Raumtemperatur: Test für unabhängige Stichproben

Fünf Patienten machen eine Diät. Sie essen bei niedriger und bei hoher Raumtemperatur, und man misst jeweils den Gewichtsverlust. Hat die Temperatur einen Einfluss? Erst wird geklärt, wie die Messungen zusammenhängen, dann entscheidet ein Test in fünf Schritten. Das ist Aufgabe 7 der Probeklausur 4 (Gesamtklausur zu Teil 1 und 2 der Vorlesung), mit 9 von 120 Punkten. Gerechnet wird nur mit den Tabellen der Formelsammlung. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 7 (9 Punkte)

Eine Untersuchung analysiert, ob bei der Einnahme von Mahlzeiten eine niedrigere oder höhere Raumtemperatur einen Einfluss darauf hat, dass Patienten bei einer Diät Gewicht verlieren. Folgende Tabelle veranschaulicht den Gewichtsverlust der 5 Patienten:

Patienten Nr.Niedrige Temperaturhohe Temperatur
1−0,60−1,00
2−2,001,20
30,30−0,70
4−1,000,60
5−0,100,60
  1. Handelt es sich Ihrer Meinung nach um eine abhängige oder unabhängige Messung? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 Punkte)
  2. Führen Sie anschließend einen 2-seitigen Signifikanztest für den Fall von unabhängigen Messungen auf einem 5%-Signifikanzniveau durch und interpretieren Sie die Ergebnisse. Es sind hier die üblichen 5 Schritte eines Hypothesentests durchzuführen. (7 Punkte)

Hinweis: Der Standardfehler wurde bereits berechnet und beträgt: σ^XˉA−XˉB=0,58\hat{\sigma}_{\bar{X}_A - \bar{X}_B} = 0{,}58

Probeklausur, Gesamtklausur Teil 1 und 2. Zeit: 120 Minuten, Gesamtpunktzahl: 120. Hilfsmittel: Formelsammlung, nicht programmierbarer Taschenrechner.

Die Klausur dauert 120 Minuten und bringt 120 Punkte, also etwa eine Minute je Punkt. Erlaubt sind die Formelsammlung und ein Taschenrechner, der sich nicht programmieren lässt.

In eigenen Worten: Die Tabelle zeigt für jeden von fünf Patienten zwei Zahlen: den Gewichtsverlust bei niedriger und bei hoher Raumtemperatur. Im Mittel liegen die beiden Spalten verschieden hoch. Ist das ein echter Einfluss der Temperatur oder Zufall bei nur fünf Personen? Das entscheidet der Test.

Teilwas verlangt istPunkte
a)abhängige oder unabhängige Messung? Mit Begründung2
b)zweiseitiger Test für unabhängige Messungen, α = 5 %, fünf Schritte7
Merke: Die Frage in a) entscheidet, welche Formel man benutzt. Bei abhängigen Messungen vergleicht man Paare, bei unabhängigen zwei getrennte Gruppen.

Der Weg:

  1. Die Messart klären (a, Seitenschritt 1).
  2. Die zwei Mittelwerte und ihren Unterschied berechnen (b, Seitenschritt 2).
  3. Die fünf Schritte des Tests: Hypothesen und Niveau, Annahmebereich, Prüfwert, Entscheidung (b, Seitenschritte 3 bis 6).
  4. Ergänzung: derselbe Vergleich mit dem Test für abhängige Messungen (Seitenschritt 7).

Zu b): Die Aufgabe verlangt ausdrücklich den Test für unabhängige Messungen, auch wenn a) etwas anderes ergibt. Dieser Weg rechnet, was verlangt ist. Der passendere Test steht als Ergänzung am Ende.

Abhängige oder unabhängige Messung

a) · 2 Punkte. Verlangt sind die Antwort und eine Begründung.

Merkmalabhängigunabhängig
Personendieselben in A und Bverschiedene in A und B
Wertepaarweise verbundenohne Zuordnung
hierja: 5 Patienten, je 2 Wertenein

Antwort: abhängige Messung, denn dieselben fünf Patienten stehen in beiden Spalten.

Man vergleicht zwei Messreihen A und B. Dann gibt es zwei Fälle:

  • Unabhängige Messungen: A und B stammen von verschiedenen Personen. Kein Wert der einen Reihe gehört zu einem bestimmten Wert der anderen. Beispiel: 5 Patienten bei niedriger und 5 andere Patienten bei hoher Temperatur.
  • Abhängige Messungen (auch verbundene Stichproben oder Messwiederholung): Dieselben Personen werden zweimal gemessen. Jeder Wert aus A hat einen Partner in B.

Hier: Jede Zeile der Tabelle ist ein Patient (Nr. 1 bis 5) und enthält zwei Werte. Dieselben fünf Patienten wurden unter beiden Bedingungen gemessen. Also sind die Messungen abhängig.

Warum das zählt: Ein Patient bringt seine Eigenheiten in beide Messungen mit, etwa seinen Stoffwechsel. Seine zwei Werte hängen darum zusammen, und diese Verbindung nutzt der Test für abhängige Messungen aus. Der Test für unabhängige Messungen übersieht sie.

Die zwei Mittelwerte und ihr Unterschied

Mittelwerte: Summe geteilt durch n = 5
xˉA=−0,6−2+0,3−1−0,15=−3,45=−0,68xˉB=−1+1,2−0,7+0,6+0,65=0,75=0,14\begin{aligned} \bar{x}_A &= \frac{-0{,}6 - 2 + 0{,}3 - 1 - 0{,}1}{5} = \frac{-3{,}4}{5} = -0{,}68 \\ \bar{x}_B &= \frac{-1 + 1{,}2 - 0{,}7 + 0{,}6 + 0{,}6}{5} = \frac{0{,}7}{5} = 0{,}14 \end{aligned}
Unterschied der Mittelwerte
xˉA−xˉB=−0,68−0,14=−0,82\bar{x}_A - \bar{x}_B = -0{,}68 - 0{,}14 = -0{,}82

Standardfehler laut Aufgabe: σ^XˉA−XˉB=0,58\hat{\sigma}_{\bar{X}_A - \bar{X}_B} = 0{,}58.

Der Test fragt, ob zwei Mittelwerte sich unterscheiden. Dazu bezeichnet man die Reihen mit A (niedrige Temperatur) und B (hohe Temperatur). Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl n=5n = 5.

Der Unterschied der Mittelwerte ist A minus B. Er ist negativ, weil bei niedriger Temperatur im Mittel weniger Gewicht verloren wurde (der Mittelwert −0,68 liegt unter 0,14).

Der Standardfehler kommt aus der Aufgabe: 0,580{,}58. Er ist der durchschnittliche Fehler, mit dem man den Unterschied aus der Stichprobe auf die Population überträgt. Ein kleiner Standardfehler heißt: Der Unterschied ist verlässlich gemessen.

Probe des Standardfehlers mit der Formel für unabhängige Messungen mit gleicher Gruppengröße (sA2+sB2)/n\sqrt{(s_A^2 + s_B^2)/n}: Zuerst die Abweichungen jedes Werts vom Mittelwert, quadriert. Gruppe A (Mittelwert −0,68): 0,082+(−1,32)2+0,982+(−0,32)2+0,582=0,0064+1,7424+0,9604+0,1024+0,3364=3,1480{,}08^2 + (-1{,}32)^2 + 0{,}98^2 + (-0{,}32)^2 + 0{,}58^2 = 0{,}0064 + 1{,}7424 + 0{,}9604 + 0{,}1024 + 0{,}3364 = 3{,}148. Gruppe B (Mittelwert 0,14): (−1,14)2+1,062+(−0,84)2+0,462+0,462=1,2996+1,1236+0,7056+0,2116+0,2116=3,552(-1{,}14)^2 + 1{,}06^2 + (-0{,}84)^2 + 0{,}46^2 + 0{,}46^2 = 1{,}2996 + 1{,}1236 + 0{,}7056 + 0{,}2116 + 0{,}2116 = 3{,}552. Die Varianzen (Division durch n−1=4n - 1 = 4) sind sA2=3,148/4=0,787s_A^2 = 3{,}148/4 = 0{,}787 und sB2=3,552/4=0,888s_B^2 = 3{,}552/4 = 0{,}888. Dann ist (0,787+0,888)/5=0,335=0,5788≈0,58\sqrt{(0{,}787 + 0{,}888)/5} = \sqrt{0{,}335} = 0{,}5788 \approx 0{,}58. Der Wert der Aufgabe stimmt.

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Die Messwerte

Gewichtsverlust der fünf Patienten, Teil a)

Abbildung 1Die Messwerte

Gewichtsverlust der fünf Patienten, Teil a)

−2−101Gewichtsverlust in kgniedrige Temp.hohe Temp.12345Linie = derselbe Patient−0,680,14
Legendedicker Querstrich: Mittelwertdünne Linie: Messwerte desselben PatientenJeder Punkt ist ein Messwert: links bei niedriger, rechts bei hoher Raumtemperatur. Senkrecht steht der Gewichtsverlust in kg; negative Werte liegen unter der 0.