studyklar
Statistik · Übungsblatt 4 · Aufgabe 3

Maschinen und Qualität: abhängig oder unabhängig?

Zwei Maschinen stellen dasselbe Produkt her, zusammen 100 Stücke. Von jedem Stück ist bekannt, auf welcher Maschine es gefertigt wurde und ob es in Ordnung oder defekt ist. Gesucht sind Anteile: insgesamt und je Maschine. Damit lässt sich die Kernfrage beantworten: Hängt die Qualität von der Maschine ab? Alles wird von Hand gerechnet. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 3

Folgende „Vierfeldertafel“ stellt die Qualität eines Produkts (y) in Abhängigkeit des Maschinentyps (x) dar:

in Ordnung (y₁)defekt (y₂)Gesamtanzahl (nᵢ·)
Maschine 1 (x₁)301545
Maschine 2 (x₂)50555
Gesamtanzahl (n·ⱼ)8020100
  1. Sind die Merkmale statistisch abhängig oder unabhängig? Begründen Sie bitte anhand eines Zahlenbeispiels.
  2. Welcher Anteil der produzierten Stücke ist in Ordnung?
  3. Welcher Anteil der auf Maschine 1 gefertigten Stücke ist in Ordnung?
  4. Welcher Anteil der auf Maschine 2 gefertigten Stücke ist in Ordnung?

In eigenen Worten: Die Tabelle zählt 100 Stücke nach zwei Angaben: Maschine (1 oder 2) und Qualität (in Ordnung oder defekt). Maschine 1 hat 45 Stücke gefertigt, Maschine 2 hat 55. Gesucht sind:

  • a) ob Maschine und Qualität zusammenhängen, begründet mit Zahlen;
  • b) der Anteil der Stücke in Ordnung unter allen Stücken;
  • c) der Anteil der Stücke in Ordnung unter den Stücken von Maschine 1;
  • d) derselbe Anteil für Maschine 2.

Zur Reihenfolge: Teil a) verlangt ein Zahlenbeispiel. Genau dieses Beispiel liefern die Anteile aus b), c) und d). Darum rechnet dieser Lösungsweg zuerst b) bis d) und beantwortet a) danach. Die Antworten bleiben dieselben.

Der Weg:

  1. Die Tafel lesen und ihre Bezeichnungen klären (Schritt 1).
  2. b) Den Anteil in Ordnung über alle Stücke berechnen (Schritt 2).
  3. c) und d) Denselben Anteil je Maschine berechnen (Schritte 3 und 4).
  4. a) Die Anteile vergleichen und mit der Formel für Unabhängigkeit prüfen (Schritte 5 und 6).
Merke: Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn jede Gruppe des einen Merkmals dieselbe Verteilung des anderen hat. Hier: Beide Maschinen hätten denselben Anteil Stücke in Ordnung.

Merkmale, Felder und ihre Namen

in Ordnung (y₁)defekt (y₂)Zeilensumme
Maschine 1 (x1x_1)n11n_{11} = 30n12n_{12} = 15n1⋅n_{1\cdot} = 45
Maschine 2 (x2x_2)n21n_{21} = 50n22n_{22} = 5n2⋅n_{2\cdot} = 55
Spaltensummen⋅1n_{\cdot 1} = 80n⋅2n_{\cdot 2} = 20nn = 100
Probe: Zeilen und Spalten addieren sich zu den Randsummen
30+15=45,50+5=55,45+55=10030 + 15 = 45, \quad 50 + 5 = 55, \quad 45 + 55 = 100
30+50=80,15+5=20,80+20=10030 + 50 = 80, \quad 15 + 5 = 20, \quad 80 + 20 = 100

Ein Merkmal ist eine Eigenschaft, die man an jedem Stück feststellt. Hier gibt es zwei: xx = Maschinentyp und yy = Qualität. Die möglichen Werte eines Merkmals heißen Ausprägungen: x1x_1 = Maschine 1, x2x_2 = Maschine 2, y1y_1 = in Ordnung, y2y_2 = defekt.

Eine Tabelle, die zählt, wie oft jede Kombination zweier Merkmale vorkommt, heißt Kontingenztabelle. Mit zwei mal zwei Innenfeldern heißt sie Vierfeldertafel.

Die Namen aus dem Skript:

  • nijn_{ij} ist die Anzahl im Feld von Zeile ii und Spalte jj, die absolute Häufigkeit. Zum Beispiel n11=30n_{11} = 30: 30 Stücke von Maschine 1 sind in Ordnung.
  • ni⋅n_{i\cdot} ist die Zeilensumme von Zeile ii. Der Punkt steht dort, wo über alle Spalten addiert wurde: n1⋅=45n_{1\cdot} = 45.
  • n⋅jn_{\cdot j} ist die Spaltensumme von Spalte jj: n⋅1=80n_{\cdot 1} = 80.
  • nn ist die Anzahl aller Stücke, hier 100.

Die Zeilen- und Spaltensummen am Rand heißen Randsummen. In der Grafik ist jede Zeile ein Balken; die Zahlen in den Feldern sind die Anzahlen.

Anteil in Ordnung insgesamt

Relative Häufigkeit einer Spalte (Skript)
f⋅j=n⋅jnf_{\cdot j} = \frac{n_{\cdot j}}{n}
Eingesetzt: Spalte in Ordnung
f⋅1=80100=0,8=80 %f_{\cdot 1} = \frac{80}{100} = 0{,}8 = 80\,\%

Gefragt ist nach allen produzierten Stücken. Die Maschine spielt keine Rolle. Darum braucht man nur die Spaltensumme „in Ordnung“: 80 Stücke.

Ein Anteil oder eine relative Häufigkeit ist eine Anzahl geteilt durch die Größe der Gruppe. Das Skript schreibt dafür ff. Mit dem Punkt im Index wie eben: f⋅1f_{\cdot 1} ist der Anteil der Spalte 1 an allen Stücken.

Die Anteile aller Spalten zusammen heißen Randverteilung von yy: 0,8 in Ordnung und 0,2 defekt. In der Grafik ist es der unterste Balken.

Antwort b): 80 % der produzierten Stücke sind in Ordnung.

Noch 5 Schritte bis zum Ergebnis
Den ganzen Lösungsweg sehen Studierende und Lehrende der HS KL. Registriere dich mit deiner Adresse @stud.hs-kl.de oder @hs-kl.de, dann geht es hier direkt weiter.
Registrieren

Drei Gruppen, je als 100 %

je Balken: in Ordnung und defekt

Abbildung 1Drei Gruppen, je als 100 %

je Balken: in Ordnung und defekt

in OrdnungdefektMaschine 145 StückeMaschine 255 Stückealle100 Stückeohne Zusammenhang: 80 %30155058020in Ordnung: 30 von 45 = 66,7 %unabhängig: 36 von 45, beobachtet 30in Ordnung: 50 von 55 = 90,9 %in Ordnung: 80 von 100 = 80 %
Legendegerade gemeintJeder Balken ist eine Gruppe, gleich lang gezeichnet als 100 %: Maschine 1 (45 Stücke), Maschine 2 (55 Stücke) und alle 100 Stücke. Vorne die Stücke in Ordnung, hinten die defekten. Die Anteile erscheinen in dem Schritt, der sie berechnet.