Dichte ⅔(x+1): Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz

Die Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist folgende Dichtefunktion, d.h. die ZV hat die Dichtefunktion

f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}(x + 1) & \text{für } 0 < x < 1 \\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}

Bestimmen Sie

Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
Zeichnen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion ein.

$X$ ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt. Sie kann jede Zahl zwischen 0 und 1 annehmen, auch 0,3 oder 0,817. Wie die Wahrscheinlichkeit auf diese Zahlen verteilt ist, sagt die Funktion $f$ . Sie heißt Dichtefunktion oder kurz Dichte; was das genau ist, erklärt Schritt 1. ZV ist die Abkürzung für Zufallsvariable.

Gesucht sind drei Rechenergebnisse und eine Zeichnung. Die Verteilungsfunktion gibt an, wie wahrscheinlich $X$ höchstens einen bestimmten Wert hat. Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert von $X$ , die Varianz misst, wie stark die Werte um ihn streuen. Jeder Begriff wird in seinem Schritt genauer erklärt.

Der Weg:

Klären, was eine Dichte ist, und prüfen, dass die Fläche unter f gleich 1 ist (Schritte 1 und 2).
a) Die Verteilungsfunktion als Fläche links von x bestimmen (Schritte 3 und 4).
b) Den Erwartungswert als Integral berechnen (Schritt 5).
c) Erst E(X²), dann die Varianz berechnen (Schritte 6 und 7).
d) Dichte und Verteilungsfunktion mit Wertetabellen zeichnen (Schritt 8).

Merke: Bei einer Dichte ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche unter der Kurve. Flächen berechnet man mit Integralen. Alle vier Teile beruhen auf dieser einen Idee.

Was eine Dichtefunktion ist

Eigenschaften einer Dichtefunktion f(x) einer stetigen ZV X (Formelsammlung)

(1)\quad f(x) \ge 0

(2)\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1

(3)\quad P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt. Hier heißt sie $X$ .

$X$ ist stetig: Sie kann jeden Wert in einem Bereich annehmen, hier jede Zahl zwischen 0 und 1. Das Gegenstück ist eine diskrete ZV mit einzelnen, getrennten Werten, etwa die Augenzahl eines Würfels.

Bei einer stetigen ZV beschreibt eine Kurve, die Dichtefunktion $f(x)$ , wo die Werte liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in einem Bereich landet, ist die Fläche unter dieser Kurve über dem Bereich. Wo die Kurve hoch ist, liegt viel Fläche: Dort landet $X$ oft. Hier steigt $f$ von links nach rechts, große Werte kommen also etwas häufiger vor als kleine.

Die Formelsammlung nennt drei Eigenschaften einer Dichte. Das Zeichen $\int$ ist ein Integral: Es berechnet eine Fläche unter einer Kurve. Wie man es ausrechnet, zeigt Schritt 2. Das Zeichen $\infty$ heißt „unendlich“: $\int_{-\infty}^{\infty}$ meint die Fläche über der ganzen x-Achse, von ganz links bis ganz rechts.

(1) Die Kurve liegt nie unter der x-Achse.
(2) Die ganze Fläche unter der Kurve ist 1: Irgendeinen Wert nimmt X sicher an.
(3) Die Fläche zwischen $a$ und $b$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ über $a$ und höchstens bei $b$ liegt.

Die Fallunterscheidung: Die geschweifte Klammer sagt, welche Zeile wo gilt. Zwischen 0 und 1 gilt $f(x) = \tfrac{2}{3}(x + 1)$ , überall sonst $f(x) = 0$ . Genau bei $x = 0$ und $x = 1$ gilt schon „sonst“, denn $0 < x < 1$ verlangt echt größer und echt kleiner. In der Grafik zeigen das die leeren Punkte.

Integrieren: Die Fläche unter f ist 1

Potenzregel für eine Stammfunktion

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Ganze Fläche unter f: nur von 0 bis 1, sonst ist f = 0

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_0^1 \frac{2}{3}(x + 1)\,dx = \frac{2}{3}\int_0^1 (x + 1)\,dx

= \frac{2}{3}\Big[\frac{x^2}{2} + x\Big]_0^1 = \frac{2}{3}\Big(\Big(\frac{1^2}{2} + 1\Big) - \Big(\frac{0^2}{2} + 0\Big)\Big)

= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1

Die Fläche ist 1. $f$ ist also eine erlaubte Dichte.

Bevor wir rechnen, prüfen wir Eigenschaft (2): Ist die ganze Fläche unter $f$ gleich 1? Dabei lernen wir das Werkzeug für alle weiteren Teile, das Integrieren.

Das Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ ist die Fläche unter $f$ von $a$ bis $b$ . $a$ heißt untere, $b$ obere Grenze. Das $dx$ am Ende sagt nur: $x$ ist die Größe, die von $a$ nach $b$ läuft. Außerhalb von 0 bis 1 ist $f = 0$ , dort liegt keine Fläche. Darum reicht das Integral von 0 bis 1.

So rechnet man es aus: Man sucht eine Stammfunktion: eine Funktion, deren Ableitung (ihre Steigung) die Kurve unter dem Integral ist. Dann setzt man erst die obere, dann die untere Grenze ein und zieht ab. Die eckige Klammer $\big[\ \big]_a^b$ ist die Schreibweise dafür.

Drei Regeln reichen für die ganze Aufgabe:

Potenzregel: Aus $x^n$ wird $\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. $x$ ist $x^1$ und wird $\tfrac{x^2}{2}$ . Die Zahl 1 ist $x^0$ und wird $\tfrac{x^1}{1} = x$ .
Faktorregel: Ein fester Faktor wie $\tfrac{2}{3}$ darf vor das Integral und bleibt stehen.
Summenregel: Bei einer Summe wie $x + 1$ integriert man jeden Summanden einzeln.

Probe ohne Integral: Die Fläche unter einer Geraden ist ein Trapez. Seine Fläche ist die mittlere Höhe mal die Breite: $\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{3}\big) \cdot 1 = 1$ . Die Höhen sind $f$ am linken Rand, $\tfrac{2}{3}(0 + 1) = \tfrac{2}{3}$ , und am rechten, $\tfrac{2}{3}(1 + 1) = \tfrac{4}{3}$ . Stimmt.

Merke:

\int_a^b x^n\,dx = \Big[\tfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big]_a^b

. Die Fläche ist der Wert an der oberen Grenze minus den Wert an der unteren.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was eine Dichtefunktion ist

Schritt 2Integrieren: Die Fläche unter f ist 1

Dichte und Verteilungsfunktion

Abbildung 1Dichte und Verteilungsfunktion

Die Aufgabe

Was eine Dichtefunktion ist

Integrieren: Die Fläche unter f ist 1