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Statistik · Übungsblatt 5 · Aufgabe 3

Dichte x/8: Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz

Eine Zufallsvariable nimmt Werte zwischen 0 und 4 an. Ihre Dichte f(x)=x8f(x) = \tfrac{x}{8} steigt gleichmäßig an; die Fläche darunter ist ein Dreieck. Gesucht sind Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz und eine Zeichnung. Der Weg ist derselbe wie in den Aufgaben 1 und 2; neu ist nur, dass der Bereich bis 4 statt bis 1 reicht. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 3

Gegeben ist folgende Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X:

f(x)={x8fu¨r 0<x<40sonst.f(x) = \begin{cases} \frac{x}{8} & \text{für } 0 < x < 4 \\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}

Bestimmen Sie

  1. Verteilungsfunktion
  2. Erwartungswert
  3. Varianz
  4. Zeichnen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion ein.

XX ist eine stetige Zufallsvariable (ZV): eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt und die jede Zahl in einem Bereich annehmen kann, hier zwischen 0 und 4. Die Dichtefunktion ff sagt, wie die Wahrscheinlichkeit auf diese Zahlen verteilt ist: Je größer xx, desto höher ff, desto häufiger kommen Werte dort vor.

Gesucht sind die Verteilungsfunktion (wie wahrscheinlich XX höchstens einen Wert hat), der Erwartungswert (der Durchschnittswert), die Varianz (wie stark die Werte streuen) und eine Zeichnung beider Funktionen.

Der Weg:

  1. Die Dichte verstehen und prüfen, dass die Fläche unter f gleich 1 ist (Schritte 1 und 2).
  2. a) Die Verteilungsfunktion als Fläche links von x bestimmen (Schritte 3 und 4).
  3. b) Den Erwartungswert als Integral berechnen (Schritt 5).
  4. c) Erst E(X²), dann die Varianz berechnen (Schritte 6 und 7).
  5. d) Dichte und Verteilungsfunktion mit Wertetabellen zeichnen (Schritt 8).
Merke: Bei einer Dichte ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche unter der Kurve. Die Grenzen der Integrale sind die Ränder des Bereichs, in dem ff nicht 0 ist: hier 0 und 4.

Die Dichte f = x/8 lesen

Eigenschaften einer Dichtefunktion f(x) einer stetigen ZV X (Formelsammlung)
(1)f(x)≥0(1)\quad f(x) \ge 0
(2)∫−∞∞f(x) dx=1(2)\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
(3)P(a<X≤b)=∫abf(x) dx(3)\quad P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

(1) gilt: Für 0<x<40 < x < 4 ist x8\tfrac{x}{8} positiv, sonst ist f=0f = 0. (2) prüft Schritt 2.

Aus Blatt 5, Aufgabe 1 („Dichte ⅔(x+1): Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz“): Bei einer stetigen ZV ist die Wahrscheinlichkeit, dass XX in einem Bereich landet, die Fläche unter ff über diesem Bereich. Die ganze Fläche ist 1, und ff ist nie negativ.

Die Fallunterscheidung: Zwischen 0 und 4 gilt f(x)=x8f(x) = \tfrac{x}{8}, überall sonst f(x)=0f(x) = 0. x8\tfrac{x}{8} ist eine Gerade durch den Nullpunkt mit der Steigung 18\tfrac{1}{8}: Je 1 nach rechts steigt sie um 0,125.

Am rechten Rand erreicht sie fast 48=0,5\tfrac{4}{8} = 0{,}5. Genau bei x=4x = 4 gilt aber schon „sonst“, denn 0<x<40 < x < 4 verlangt echt kleiner als 4. Darum in der Grafik ein leerer Punkt auf der Höhe 0,5 und ein voller auf der x-Achse.

Bedeutung: Werte nahe 4 kommen am häufigsten vor, Werte nahe 0 kaum. Diese Form nennt man auch Dreiecksverteilung.

Die Fläche unter f ist 1

Potenzregel für eine Stammfunktion
∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
Ganze Fläche unter f: nur von 0 bis 4, sonst ist f = 0
∫04x8 dx=18[x22]04=[x216]04\int_0^4 \frac{x}{8}\,dx = \frac{1}{8}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^4 = \Big[\frac{x^2}{16}\Big]_0^4
=4216−0216=1616=1= \frac{4^2}{16} - \frac{0^2}{16} = \frac{16}{16} = 1

Außerhalb von 0 bis 4 liegt keine Fläche. Darum laufen die Integrale hier von 0 bis 4, nicht von 0 bis 1 wie in den Aufgaben 1 und 2.

Integrieren: x8=18⋅x\tfrac{x}{8} = \tfrac{1}{8} \cdot x. Der Faktor 18\tfrac{1}{8} bleibt stehen, aus xx wird mit der Potenzregel x22\tfrac{x^2}{2}. Zusammen: 18⋅x22=x216\tfrac{1}{8} \cdot \tfrac{x^2}{2} = \tfrac{x^2}{16}.

Probe ohne Integral: Die Fläche ist ein Dreieck mit der Breite 4 und der Höhe 0,5. Dreiecksfläche = ½ · Breite · Höhe = 12⋅4⋅0,5=1\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 1. Stimmt.

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Dichte und Verteilungsfunktion

beide in einem Koordinatensystem, wie d) es verlangt

Abbildung 1Dichte und Verteilungsfunktion

beide in einem Koordinatensystem, wie d) es verlangt

00,250,50,751012345Höhe f(x) bzw. F(x)Wert xE(X) ≈ 2,67± σ ≈ 0,94F(x)f(x)Fläche 1F(2) =Fläche bis 2F(2) = 2²/16= 0,25
Legendedurchgezogen: Dichte fgestrichelt: Verteilungsfunktion Fsenkrecht gestrichelt (ab Schritt 5): E(X)getönt: die gemeinte Fläche unter fgerade gemeintDas Koordinatensystem für die Lösung: waagerecht die Werte x, senkrecht die Höhe der Kurven. Ab Schritt 1 steht darin die gegebene Dichte f, in Schritt 8 kommt die Verteilungsfunktion F dazu.