Körpergröße: Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall

Die Aufgabe

Aufgabe 1

In einer Stichprobe von 20 Männern wurde eine durchschnittliche Körpergröße von 1,94 m gefunden. Die Standardabweichung in der Stichprobe betrug $s = 0{,}12\ \text{m}$ .

Berechnen und interpretieren Sie den Standardfehler des Mittelwertes.
Konstruieren und interpretieren Sie das 95%-Konfidenzintervall.

In eigenen Worten: Man kennt nur 20 Männer, nicht alle. Ihr Mittelwert 1,94 m ist darum nur ein Schätzwert für den Mittelwert aller Männer. Eine andere Stichprobe von 20 Männern hätte einen etwas anderen Wert ergeben. Die Aufgabe will wissen:

a) wie weit dieser Schätzwert im Durchschnitt danebenliegt (Standardfehler),
b) einen Bereich, in dem der wahre Mittelwert mit 95 % Sicherheit liegt.

Der Weg:

Standardfehler berechnen und deuten (a, Schritte 1 und 2).
Die passende Formel für das Intervall wählen (b, Schritt 3).
Den t-Wert in der Tabelle ablesen (Schritt 4).
Grenzen ausrechnen und deuten (Schritte 5 und 6).

Merke: Ein Konfidenzintervall ist der Mittelwert minus und plus ein Vielfaches des Standardfehlers. Das Vielfache steht in einer Tabelle und hängt von der gewünschten Sicherheit ab.

Standardfehler berechnen

Standardfehler bei unbekanntem σ (Formelsammlung, Seite 11)

\hat{\sigma}_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}12}{\sqrt{20}} = \frac{0{,}12}{4{,}4721} = 0{,}0268\ \text{m}

Der Standardfehler (kurz SE, englisch standard error) sagt, wie stark der Mittelwert einer Stichprobe im Durchschnitt vom wahren Mittelwert aller Männer abweicht. Sein Zeichen ist $\hat{\sigma}_{\bar{X}}$ : das Dach heißt „geschätzt“, der Index $\bar{X}$ „des Mittelwerts“.

Die Streuung aller Männer $σ$ (sigma) kennen wir nicht. Bekannt ist nur die Standardabweichung der Stichprobe $s = 0{,}12$ m. Die Formelsammlung nimmt für diesen Fall $s$ statt $σ$ und teilt durch die Wurzel aus der Zahl der Gemessenen $n = 20$ .

Aus Blatt 2, Aufgabe 4 („Waschpulverpreise: Varianz und Standardabweichung“): Die Standardabweichung sagt, wie weit einzelne Werte im Durchschnitt um den Mittelwert streuen. Hier: Einzelne Männer weichen um etwa 0,12 m von 1,94 m ab.

Standardfehler deuten

Von Metern in Zentimeter

0{,}0268\ \text{m} = 0{,}0268 \cdot 100\ \text{cm} = 2{,}68\ \text{cm}

Deutung: Der Mittelwert 1,94 m aus 20 Männern weicht im Durchschnitt um 0,0268 m, also um etwa 2,7 cm, vom wahren Mittelwert aller Männer ab.

Der Standardfehler ist viel kleiner als die Standardabweichung 0,12 m. Das ist kein Zufall: Einzelne Männer streuen stark, der Mittelwert aus 20 Männern streut weniger. Große und kleine Männer gleichen sich im Mittelwert teilweise aus.

Körpergröße: Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall

Die Aufgabe

Standardfehler berechnen

Standardfehler deuten

Mittelwert und Konfidenzintervall

Abbildung 1Mittelwert und Konfidenzintervall

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Standardfehler berechnen

Schritt 2Standardfehler deuten

Mittelwert und Konfidenzintervall

Abbildung 1Mittelwert und Konfidenzintervall

Die Aufgabe

Standardfehler berechnen

Standardfehler deuten