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Statistik · Übungsblatt 6 · Aufgabe 2

Punkt- und Intervallschätzung bei bekannter Varianz

Neun Messwerte stammen aus einer Normalverteilung mit bekannter Varianz 4. Daraus wird der unbekannte Erwartungswert geschätzt: einmal als einzelne Zahl, einmal als Bereich mit 90 % Sicherheit. Zum Schluss geht es darum, wie sich der Bereich ändert, wenn die Stichprobe oder die Streuung größer wird. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 2

Berechnen Sie auf Basis der folgenden Stichprobe aus einer Normalverteilung mit einer bekannten Varianz von 4 eine Punktschätzung für den Erwartungswert μμ und eine Intervallschätzung für den Erwartungswert μμ bei einem Konfidenzniveau von 90 % (α=0,1\alpha = 0{,}1).

Stichprobe: 101, 123, 127, 143, 145, 132, 134, 134, 123

Wie ändert sich allgemein ein Konfidenzintervall, wenn sich

  1. der Stichprobenumfang oder
  2. die Varianz der Grundgesamtheit erhöht?

In eigenen Worten: Der Erwartungswert μμ (my) ist der Mittelwert der ganzen Verteilung, also aller denkbaren Werte. Wir kennen ihn nicht, nur neun Werte daraus. Gesucht sind zwei Schätzungen:

  • Punktschätzung: eine einzelne Zahl als bester Tipp für μμ.
  • Intervallschätzung: ein Bereich, der μμ mit 90 % Sicherheit enthält.

Der Weg:

  1. Mittelwert der neun Werte als Punktschätzung (Schritt 1).
  2. Formel für das Intervall wählen (Schritt 2).
  3. Standardfehler und z-Wert bestimmen (Schritte 3 und 4).
  4. Grenzen ausrechnen und deuten (Schritte 5 und 6).
  5. Die beiden allgemeinen Fragen a) und b) (Schritte 7 und 8).
Merke: Konfidenzintervall = Mittelwert minus und plus z-Wert mal Standardfehler. Je kleiner der Standardfehler, desto schmaler das Intervall.

Mittelwert der Stichprobe

Punktschätzung für μ
∑xi=101+123+127+143+145+132+134+134+123=1.162μ^=xˉ=1n∑xi=1.1629=129,11\begin{aligned} \sum x_i &= 101 + 123 + 127 + 143 + 145 + 132 + 134 + 134 + 123 = 1.162 \\ \hat{\mu} = \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum x_i = \frac{1.162}{9} = 129{,}11 \end{aligned}

Der beste Tipp für den Erwartungswert μμ ist der Mittelwert der Stichprobe xˉ\bar{x} (gesprochen „x quer“). Er heißt darum Punktschätzung: eine einzelne Zahl, ein Punkt auf der Zahlengeraden.

Man addiert die n=9n = 9 Werte und teilt durch 9. Gerundet wird erst am Ende, auf zwei Nachkommastellen.

Aus Blatt 1, Aufgabe 6 („Tore von Arminia Bielefeld: Modus, Median, Mittelwert“): Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl.

Die passende Formel wählen

Konfidenzintervall, normalverteilt, σ bekannt (Formelsammlung, Seite 11)
cu=xˉ−z1−α2⋅σ^Xˉco=xˉ+z1−α2⋅σ^Xˉ\begin{aligned} c_u &= \bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \hat{\sigma}_{\bar{X}} \\ c_o &= \bar{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \hat{\sigma}_{\bar{X}} \end{aligned}

Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich um den Mittelwert, der den wahren Erwartungswert mit einer gewählten Sicherheit enthält. Diese Sicherheit heißt Konfidenzniveau, hier 90 %. Der Rest ist die Irrtumswahrscheinlichkeit α=0,1\alpha = 0{,}1.

Welche Formel? Die Stichprobe ist klein (n=9<30n = 9 < 30), aber die Aufgabe sagt: Die Werte kommen aus einer Normalverteilung. Und die Varianz ist bekannt. Dann gilt die Formel mit dem z-Wert aus der Standardnormalverteilung.

Die untere Grenze heißt cuc_u, die obere coc_o. Das Zeichen σ^Xˉ\hat{\sigma}_{\bar{X}} ist der Standardfehler; er kommt im nächsten Schritt.

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Mittelwert und Konfidenzintervalle

oben die Aufgabe, darunter die Vergleiche zu a) und b)

Abbildung 1Mittelwert und Konfidenzintervalle

oben die Aufgabe, darunter die Vergleiche zu a) und b)

127128129130131132Mittelwert 129,11n = 9128,01130,21n = 36128,56129,66σ² = 16126,92131,30
LegendeMittelwert (gestrichelt) und 90-%-Intervalle (dicke Striche); links steht, womit gerechnet wurdeZahlengerade um den Mittelwert. Oben das Intervall der Aufgabe, darunter zwei Vergleiche für a) und b).