Kinobesuche: Standardfehler, relativer Standardfehler und Konfidenzintervall

Die Aufgabe

Aufgabe 3

Wir befragen Rentner wie oft sie im Jahr ins Kino gehen. In der Gruppe der 35 befragten Rentner ergab sich, dass durchschnittlich 8 Besuche pro Jahr wären. Die Standardabweichung beträgt 3.

Berechnen und interpretieren Sie den Standardfehler und den relativen Standardfehler.
Konstruieren und interpretieren Sie das 95%-Konfidenzintervall.

In eigenen Worten: Befragt wurden nur 35 Rentner, nicht alle. Der Mittelwert 8 ist darum nur ein Schätzwert. Die Aufgabe will wissen:

a) wie weit dieser Schätzwert im Durchschnitt danebenliegt, in Besuchen und in Prozent,
b) einen Bereich, in dem der wahre Mittelwert mit 95 % Sicherheit liegt.

Der Weg:

Standardfehler berechnen und deuten (a, Schritte 1 und 2).
Relativen Standardfehler berechnen und deuten (a, Schritt 3).
Formel wählen und z-Wert ablesen (b, Schritte 4 und 5).
Grenzen ausrechnen und deuten (b, Schritte 6 und 7).

Merke: Der Standardfehler sagt, wie genau ein Mittelwert ist. Teilt man ihn durch den Mittelwert, erhält man die Genauigkeit in Prozent.

Standardfehler berechnen

Standardfehler (Formelsammlung, Seite 11)

SE = \hat{\sigma}_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{35}} = \frac{3}{5{,}9161} = 0{,}5071

Der Standardfehler (kurz SE, englisch standard error, Zeichen $\hat{\sigma}_{\bar{X}}$ ) sagt, wie stark der Mittelwert einer Stichprobe im Durchschnitt vom wahren Mittelwert $μ$ (my) aller Rentner abweicht.

Man teilt die Standardabweichung 3 durch die Wurzel aus der Zahl der Befragten $n = 35$ . Die Aufgabe sagt nicht, ob die 3 die Streuung aller Rentner ( $σ$ ) oder die der Stichprobe ( $s$ ) ist. Für den Standardfehler ist das egal: Beide Formeln der Formelsammlung rechnen dasselbe.

Aus Blatt 2, Aufgabe 4 („Waschpulverpreise: Varianz und Standardabweichung“): Die Standardabweichung sagt, wie weit einzelne Werte im Durchschnitt um den Mittelwert streuen. Hier: Einzelne Rentner weichen um etwa 3 Besuche von 8 ab.

Standardfehler deuten

$SE = 0{,}51$ Kinobesuche pro Jahr.

Deutung: Der Mittelwert 8 aus 35 Rentnern weicht im Durchschnitt um 0,51 Kinobesuche pro Jahr vom wahren Mittelwert aller Rentner ab.

Einzelne Rentner streuen um 3 Besuche. Der Mittelwert aus 35 Rentnern streut viel weniger, weil sich häufige und seltene Kinogänger im Mittelwert teilweise ausgleichen.

Kinobesuche: Standardfehler, relativer Standardfehler und Konfidenzintervall

Die Aufgabe

Standardfehler berechnen

Standardfehler deuten

Mittelwert und Konfidenzintervall

Abbildung 1Mittelwert und Konfidenzintervall

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Standardfehler berechnen

Schritt 2Standardfehler deuten

Mittelwert und Konfidenzintervall

Abbildung 1Mittelwert und Konfidenzintervall

Die Aufgabe

Standardfehler berechnen

Standardfehler deuten