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Statistik · Übungsblatt 7 · Aufgabe 8

Eissorte und Geschlecht: χ²-Test 2×3

Kaufen Männer und Frauen andere Eissorten? Bei 200 Eiskäufen sieht es so aus: Frauen nehmen öfter Erdbeere. Ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest prüft, ob dieser Unterschied mehr als Zufall ist. Das ist Aufgabe 8 von Übungsblatt 7 (Testverfahren). Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 8

Eine Stichprobe von 200 Eiskäufen wurde nach Geschlecht und bevorzugter Eissorte untersucht.

VanilleErdbeereSchokoladeSumme
Mann404040120
Frau20402080
Summe608060200

Sie stellen nun die Hypothese auf, dass die bevorzugte Eissorte unabhängig vom Geschlecht ist. Verwenden Sie die obige Stichprobe, um Ihre Aussage zum Signifikanzniveau von 5 Prozent (α = 0,05) zu prüfen.

a) Bestimmen Sie die Prüfgröße χemp2\chi^2_{emp}.

b) Geben Sie den kritischen Wert χ(I−1)(J−1)2\chi^2_{(I-1)(J-1)} an.

c) Wie lautet Ihre Testentscheidung?

In eigenen Worten: Zwei Merkmale werden gekreuzt: das Geschlecht (zwei Zeilen) und die Eissorte (drei Spalten). So eine Tabelle heißt Kontingenztabelle. Gefragt ist, ob die beiden Merkmale unabhängig sind. Unabhängig heißt: Männer und Frauen wählen die drei Sorten in gleichen Anteilen.

Gesucht: (II = Zahl der Zeilen, JJ = Zahl der Spalten) a) der Prüfwert χemp2\chi^2_{emp}, b) der kritische Wert aus der Tabelle, c) die Testentscheidung bei α = 0,05.

Der Test läuft in den fünf Testschritten des Kurses:

  1. Testschritt 1: Hypothesen aufstellen (Schritt 2).
  2. Testschritt 2: Signifikanzniveau festlegen (Schritt 3).
  3. Testschritt 3: Prüfwert χ² berechnen, Teil a (Schritte 4 bis 7).
  4. Testschritt 4: kritischen Wert ablesen, Teil b (Schritte 8 und 9).
  5. Testschritt 5: vergleichen und entscheiden, Teil c (Schritte 10 und 11).
Merke: Der Test vergleicht die beobachteten Häufigkeiten mit denen, die bei Unabhängigkeit zu erwarten wären. Je weiter beide auseinanderliegen, desto größer wird χ².

Welcher Test, und warum

Anteil je SorteVanilleErdbeereSchokolade
Mann40 / 120 = 33,3 %40 / 120 = 33,3 %40 / 120 = 33,3 %
Frau20 / 80 = 25,0 %40 / 80 = 50,0 %20 / 80 = 25,0 %

Geschlecht und Eissorte sind Kategorien, keine Messwerte. Man hat nur Häufigkeiten und fragt, ob die zwei Merkmale zusammenhängen. Dafür ist der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest da (χ², gesprochen „chi quadrat“). Er vergleicht jedes Feld mit dem Wert, den man bei Unabhängigkeit erwarten würde. In der Formelsammlung heißt die Zeile f (Freiheitsgrade) und die Spalte P (das ist 1−α1 - \alpha).

Ein erster Blick auf die Anteile: Bei den Männern ist jede Sorte gleich beliebt (je ein Drittel). Bei den Frauen ist Erdbeere mit 50 % vorn. Der Test sagt, ob dieser Unterschied größer ist als der Zufall.

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen

Nullhypothese

H0H_0: Die bevorzugte Eissorte ist unabhängig vom Geschlecht.

Alternativhypothese

H1H_1: Die bevorzugte Eissorte hängt vom Geschlecht ab.

Die Nullhypothese H0H_0 sagt: Es gibt keinen Zusammenhang. Genau diese Hypothese stellt die Aufgabe auf. Die Alternativhypothese H1H_1 behauptet einen Zusammenhang. Der Test versucht, H0H_0 mit den Daten zu widerlegen.

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Beobachtet und erwartet

oben die Felder der Tabelle, unten die Skala des Prüfwerts

Abbildung 1Beobachtet und erwartet

oben die Felder der Tabelle, unten die Skala des Prüfwerts

Eiskäufe40M20F40M40F40M20FVanilleErdbeereSchokolade36+40,44424−40,66748−81,33332+82,00036+40,44424−40,667Skala des Prüfwerts χ²02468105,5565,991AnnahmeAblehnungPrüfwert χ²
LegendeM = Mann, F = FrauStrich: erwartete HäufigkeitAnnahmebereichAblehnbereichOben die sechs Felder der Tabelle als Balken, unten später die Skala für den Prüfwert χ².