Intelligenz einer Schulklasse: einseitiger t-Test

Die Aufgabe

Aufgabe 9

Eltern einer Schulklasse mit 32 Schülern halten ihre Kinder für hoch intelligent. Sie werden als Psychologe gebeten, diese Vermutung zu überprüfen. Dafür wählen Sie einen normierten Intelligenztest. Der Test ist so konstruiert, dass er Intelligenz auf Intervallskalenniveau misst und in der Population einen Mittelwert von 100 Test-Punkten aufweist (höhere Werte bedeuten eine höhere Intelligenz).

a) Ihre Untersuchung der Gruppe hat den Mittelwert 107,938 und eine Streuung 14,734 ergeben. Ist diese Gruppe von Schülern nun intelligenter? Formulieren Sie Null- und Alternativhypothese.

b) Verwenden Sie zur Beantwortung obiger Frage bitte einen t-Test und testen Sie Ihre Fragestellung auf dem 5% - Signifikanzniveau. Geben Sie hier beide Lösungsmöglichkeiten an, d.h. mit Prüfgröße und mit Definition des Annahmebereichs.

In eigenen Worten: 107,938 liegt über 100. Aber jede Klasse ist eine zufällige Auswahl: Auch bei durchschnittlichen Kindern läge ihr Mittelwert mal darüber, mal darunter. Der Test fragt: Ist der Abstand von knapp 8 Punkten zu groß, um nur Zufall zu sein?

Gesucht: a) Null- und Alternativhypothese. b) Ein t-Test bei α = 5 %, und zwar auf zwei Wegen: mit der Prüfgröße $t_{emp}$ und mit dem Annahmebereich für den Mittelwert.

Aus Blatt 1, Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Intervallskalenniveau heißt: Die Abstände zwischen den Werten sind gleich groß und bedeutsam. Darum darf man einen Mittelwert bilden.

Der Weg in den fünf Testschritten des Kurses:

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen, Teil a (Schritt 2).
Testschritt 2: Signifikanzniveau festlegen (Schritt 3).
Testschritt 3: den Annahmebereich bestimmen (Schritte 4 bis 6).
Testschritt 4: den Mittelwert der Klasse einordnen (Schritt 7).
Testschritt 5: entscheiden (Schritt 8).
Zweiter Weg mit der Prüfgröße (Schritte 9 und 10).

Merke: Man nimmt an, die Nullhypothese stimmt, und prüft, ob die Daten dazu passen. Passen sie nicht, lehnt man die Nullhypothese ab.

Welcher Test, und warum

Gegeben

n = 32, \quad \bar{x} = 107{,}938, \quad s = 14{,}734, \quad \mu_0 = 100, \quad \alpha = 0{,}05

Geprüft wird ein Mittelwert gegen einen festen Wert, 100 Punkte. Das ist ein Einstichprobentest: eine Gruppe, ein Vergleichswert.

Die Streuung der Bevölkerung, $\sigma$ („sigma“), ist nicht bekannt. Bekannt ist nur die Streuung der Klasse, $s = 14{,}734$ . Sie ist aus der Stichprobe geschätzt. Darum folgt die Prüfgröße der t-Verteilung, nicht der Normalverteilung. Die Aufgabe verlangt den t-Test ausdrücklich.

Die „Streuung“ der Aufgabe ist die Standardabweichung $s$ der Stichprobe. Sie kommt direkt in die Formeln, ohne sie umzurechnen.

Aus Blatt 6, Aufgabe 1 („Körpergröße: Standardfehler und 95-%-Konfidenzintervall“): Die t-Verteilung ist eine Glockenkurve wie die Normalverteilung, aber mit breiteren Rändern. Sie berücksichtigt, dass auch

s

nur geschätzt ist. Wie breit sie ist, hängt von den Freiheitsgraden ab.

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen

Nullhypothese: die Klasse ist nicht intelligenter

H_0:\; \mu \le 100

Alternativhypothese: die Klasse ist intelligenter

H_1:\; \mu > 100

$\mu$ („mü“) ist der wahre Mittelwert, den Kinder wie diese Klasse im Test hätten. Die Eltern behaupten: $\mu$ ist größer als 100. Diese Behauptung will man belegen. Sie kommt darum in die Alternativhypothese $H_1$ .

Die Nullhypothese $H_0$ ist das Gegenteil: Die Klasse ist nicht intelligenter, $\mu \le 100$ . Weil nur eine Richtung zählt (größer), ist der Test einseitig. Das ist die Antwort auf a).

Aus Blatt 6, Aufgabe 9 („Einseitig oder zweiseitig testen“): Nennt die Frage eine Richtung („intelligenter“, „größer“), testet man einseitig. Nur bei „anders“ ohne Richtung testet man zweiseitig.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Welcher Test, und warum

Schritt 2Testschritt 1: Hypothesen aufstellen

t-Verteilung

Abbildung 1t-Verteilung

Die Aufgabe

Welcher Test, und warum

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen