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Statistik · Übungsblatt 7 · Aufgabe 11

Lernaufwand und Prüfungen: Korrelationstest

Fünf Studenten haben notiert, wie viele Stunden sie in einem Semester gelernt und wie viele Prüfungen sie bestanden haben. Bei diesen fünf hängt beides zusammen. Die Aufgabe fragt, was daraus für alle Studenten folgt: In welchem Bereich liegt der wahre Zusammenhang, und kann er auch null sein? Gerechnet wird nur mit den Formeln und Tabellen der Formelsammlung. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 11

Es wird der Zusammenhang zwischen Lernaufwand in Stunden und Anzahl bestandener Prüfungen in einem Semester von 5 Studenten betrachtet:

Student Nr.Lernaufwand (Std.)Anzahl bestandener Prüfungen
12005
22254
32705
41902
52053
  1. Berechnen Sie ein geeignetes Zusammenhangsmaß sowie den Standardfehler.
  2. Konstruieren Sie das 95%-Konfidenzintervall und interpretieren Sie die Werte.
  3. Führen Sie einen zweiseitigen Signifikanztest auf dem 5% Signifikanzniveau durch.

In eigenen Worten: Fünf Studenten sind eine kleine Stichprobe. Ein Zusammenhangsmaß beschreibt zunächst nur diese fünf. Gefragt ist, ob der Zusammenhang auch in der Population gilt, also bei allen Studenten. Den wahren Zusammenhang dort nennt man ρ\rho (gesprochen „rho“). Man kann ihn nicht messen, nur aus der Stichprobe schätzen.

Teilwas verlangt ist
a)r aus den Daten berechnen und deuten, Standardfehler von r
b)Bereich, in dem das wahre ρ mit 95 % Sicherheit liegt, und Deutung
c)Test: kann ρ = 0 sein? Zweiseitig, Niveau 5 %
Merke: Ein Konfidenzintervall und ein Test beantworten dieselbe Frage von zwei Seiten. Das Intervall nennt alle Werte von ρ, die zu den Daten passen. Der Test fragt nur, ob der Wert 0 dazugehört.

Der Weg:

  1. a) Den Korrelationskoeffizienten r aus der Tabelle berechnen, deuten und seinen Standardfehler bestimmen (Schritte 1 bis 5).
  2. b) r in Fisher-z umrechnen, dort das Intervall bilden, die Grenzen zurückrechnen (Schritte 6 bis 10).
  3. c) Die 5 Testschritte: Hypothesen bis Entscheidung (Schritte 11 bis 14).

Welches Maß, und zuerst die Mittelwerte

Mittelwert des Lernaufwands
xˉ=200+225+270+190+2055=10905=218\bar{x} = \frac{200 + 225 + 270 + 190 + 205}{5} = \frac{1090}{5} = 218
Mittelwert der bestandenen Prüfungen
yˉ=5+4+5+2+35=195=3,8\bar{y} = \frac{5 + 4 + 5 + 2 + 3}{5} = \frac{19}{5} = 3{,}8

Welches Maß passt? Beide Merkmale sind metrisch: Stunden und Anzahl Prüfungen sind Zahlen, mit denen man rechnen kann. Für zwei metrische Merkmale ist der Korrelationskoeffizient nach Pearson rr das passende Maß. Er misst, wie gut die Punkte im Streudiagramm auf einer Geraden liegen. Er liegt immer zwischen −1 und +1.

rr vergleicht, wie jeder Student von den Mittelwerten abweicht. Darum braucht man zuerst die beiden Mittelwerte: xˉ\bar{x} („x quer“) für die Stunden, yˉ\bar{y} für die Prüfungen. Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl n=5n = 5.

In der Grafik sind die Mittelwerte die gestrichelten Linien.

Abweichungen und ihre Produkte in einer Tabelle

Studentxix_iyiy_ixi−xˉx_i - \bar{x}yi−yˉy_i - \bar{y}(xi−xˉ)(yi−yˉ)(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})(xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2(yi−yˉ)2(y_i - \bar{y})^2
12005−181,2−21,63241,44
2225470,21,4490,04
32705521,262,427041,44
41902−28−1,850,47843,24
52053−13−0,810,41690,64
Summe1090190010340306,8

Für jeden Studenten wird bestimmt, wie weit er vom Mittelwert entfernt liegt: bei den Stunden xi−xˉx_i - \bar{x}, bei den Prüfungen yi−yˉy_i - \bar{y}. Das kleine ii ist die Nummer des Studenten. Beispiel Student 1: 200−218=−18200 - 218 = -18 Stunden und 5−3,8=1,25 - 3{,}8 = 1{,}2 Prüfungen.

Dann werden die beiden Abweichungen multipliziert. Das Produkt ist positiv, wenn ein Student bei beiden Größen auf derselben Seite des Mittelwerts liegt (Student 3: viel gelernt, viel bestanden; Student 4: wenig und wenig). Es ist negativ, wenn er auf verschiedenen Seiten liegt (Student 1). Hier überwiegen die positiven Produkte: Die Summe ist 103.

Zusätzlich wird jede Abweichung quadriert. Die Summen der Quadrate messen, wie stark jede Größe für sich streut. Probe: Die Abweichungen summieren sich in jeder Spalte zu 0.

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Streudiagramm

Lernaufwand und Prüfungen der fünf Studenten

Abbildung 1Streudiagramm

Lernaufwand und Prüfungen der fünf Studenten

0123456bestandene Prüfungen180200220240260280Lernaufwand in Stunden12345x̄ = 218ȳ = 3,8r = 0,622Standardfehler 0,307
Legendegefüllter Punkt: gerade gemeintgestrichelt: Mittelwerte und RichtungJeder Punkt ist ein Student: waagerecht sein Lernaufwand in Stunden, senkrecht die Zahl seiner bestandenen Prüfungen. Die Zahl neben dem Punkt ist die Nummer des Studenten.