Arbeitszeit und Krankheitstage: Fisher-z-Intervall

Die Aufgabe

Aufgabe 13

Die Vermutung, dass Arbeiten krank macht ist weit verbreitet. Untersucht wird der Zusammenhang zwischen wöchentlicher Arbeitszeit (in Stunden) und Anzahl der Krankheitstage im Jahr.

Person	wöchentliche Arbeitszeit (in Stunden) $x_i$	Anzahl der Krankheitstage im Jahr $y_i$
1	40	5
2	37	11
3	25	2
4	40	3
5	38	9
	180	30

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r und interpretieren Sie ihn anschließend. (Sie können für Ihre Berechnungen die Tabelle verwenden.)
Berechnen Sie den Standardfehler.
Konstruieren Sie das 95%-Konfidenzintervall. (Rechnen Sie hierfür den r-Wert zunächst in einen z-Wert um, bestimmen die Grenzen des Konfidenzintervalls für diesen z-Wert und rechnen dann anschließend diese Grenzen in r-Werte zurück.)
Führen Sie einen einseitigen Signifikanztest auf dem 5% Signifikanzniveau durch und interpretieren Sie das Ergebnis.

In eigenen Worten: Die fünf Personen sind eine kleine Stichprobe. Der Korrelationskoeffizient $r$ beschreibt nur diese fünf. Gefragt ist auch, was für die Population gilt, also für alle Berufstätigen. Den wahren Zusammenhang dort nennt man $\rho$ (gesprochen „rho“). Man kann ihn nicht messen, nur schätzen.

Teil	was verlangt ist
a)	r aus der Tabelle berechnen und deuten
b)	Standardfehler von r
c)	Bereich, in dem das wahre ρ mit 95 % Sicherheit liegt, über Fisher-z
d)	einseitiger Test bei 5 %: macht Arbeiten krank?

Merke: Die Vermutung „Arbeiten macht krank“ hat eine Richtung: mehr Arbeit, mehr Krankheitstage. Darum ist in d) ein einseitiger Test verlangt.

Der Weg:

a) Mittelwerte, Abweichungstabelle, r und Deutung (Schritte 1 bis 4).
b) Standardfehler von r (Schritt 5).
c) r in Fisher-z umrechnen, dort das Intervall bilden, zurückrechnen (Schritte 6 bis 10).
d) Die 5 Testschritte, einseitig (Schritte 11 bis 14).

Die beiden Mittelwerte

Mittelwert der Arbeitszeit (Summe 180)

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{180}{5} = 36

Mittelwert der Krankheitstage (Summe 30)

\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{30}{5} = 6

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson $r$ misst, wie gut die Punkte im Streudiagramm auf einer Geraden liegen. Er liegt immer zwischen −1 und +1. Er passt hier, weil beide Merkmale metrisch sind: Stunden und Tage sind Zahlen, mit denen man rechnen kann.

$r$ vergleicht, wie jede Person von den Mittelwerten abweicht. Darum braucht man zuerst die beiden Mittelwerte: $\bar{x}$ („x quer“) für die Arbeitszeit, $\bar{y}$ für die Krankheitstage. Die Summen stehen schon unten in der Tabelle der Aufgabe: 180 und 30.

Abweichungen und ihre Produkte in einer Tabelle

Person	$x_i$	$y_i$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$	$(x_i - \bar{x})^2$	$(y_i - \bar{y})^2$
1	40	5	4	−1	−4	16	1
2	37	11	1	5	5	1	25
3	25	2	−11	−4	44	121	16
4	40	3	4	−3	−12	16	9
5	38	9	2	3	6	4	9
Summe	180	30	0	0	39	158	60

Die leeren Spalten der Aufgabentabelle sind für genau diese Rechnung gedacht. Für jede Person wird bestimmt, wie weit sie vom Mittelwert entfernt liegt: $x_i - \bar{x}$ bei den Stunden, $y_i - \bar{y}$ bei den Tagen. Das kleine $i$ ist die Nummer der Person. Beispiel Person 1: $40 - 36 = 4$ Stunden und $5 - 6 = -1$ Tag.

Dann werden die beiden Abweichungen multipliziert. Das Produkt ist positiv, wenn die Person bei beiden Größen auf derselben Seite des Mittelwerts liegt (Person 3: wenig Arbeit, wenig krank, Produkt 44). Es ist negativ, wenn sie auf verschiedenen Seiten liegt (Person 4: viel Arbeit, wenig krank, Produkt −12). Die Summe ist 39.

Zusätzlich wird jede Abweichung quadriert. Die Summen der Quadrate messen, wie stark jede Größe für sich streut. Probe: Die Abweichungen summieren sich in jeder Spalte zu 0.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die beiden Mittelwerte

Schritt 2Abweichungen und ihre Produkte in einer Tabelle

Streudiagramm

Abbildung 1Streudiagramm

Die Aufgabe

Die beiden Mittelwerte

Abweichungen und ihre Produkte in einer Tabelle