Modehäuser: multiple Regression und F-Test

Die Aufgabe

Aufgabe 1

Ein Unternehmer hat 5 Modehäuser unterschiedlicher Größe in Städten mit unterschiedlichen Einwohnerzahlen. Er vermutet, dass ein signifikanter Zusammenhang zwischen Einwohnerzahl, Modehausgröße und dem jeweiligen Umsatz besteht.

Nr.	Einwohner in 100.000 $x_1$	Größe in 1.000 m² $x_2$	Umsatz in Mio. Euro $y$
1	1	3	2
2	2	2	3
3	3	5	5
4	4	10	8
5	5	12	8

\hat{y} = 0{,}45 + 1{,}05 \cdot x_1 + 0{,}25 \cdot x_2

Interpretieren Sie die beiden Regressionsgewichte ( $b_1 = 1{,}05$ ; $b_2 = 0{,}25$ ).
Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß.
Ist der ermittelte Zusammenhang signifikant auf einem Signifikanzniveau von 5%?
Sind die einzelnen Regressionskoeffizienten signifikant auf einem Signifikanzniveau von 1%?

In eigenen Worten: Zu jedem der 5 Modehäuser gibt es drei Zahlen: die Einwohner der Stadt $x_1$ (in 100.000), die Größe des Hauses $x_2$ (in 1.000 m²) und den Umsatz $y$ (in Mio. Euro). $x_1 = 3$ heißt 300.000 Einwohner, $x_2 = 5$ heißt 5.000 m², $y = 5$ heißt 5 Mio. Euro.

Die Regressionsgleichung ist gegeben. Sie schätzt den Umsatz aus beiden Größen zugleich. Gesucht ist:

a) was die beiden Gewichte 1,05 und 0,25 bedeuten,
b) wie viel der Unterschiede im Umsatz die Gleichung erklärt (Bestimmtheitsmaß),
c) ob der Zusammenhang insgesamt über die fünf Häuser hinaus gilt (α = 5 %),
d) ob jede der beiden Größen für sich einen Einfluss hat (α = 1 %).

Der Weg:

Modell und Einheiten klären, Gewichte deuten (a, Schritte 1 und 2).
Schätzwerte und Streuungen ausrechnen, daraus das Bestimmtheitsmaß (b, Schritte 3 bis 7).
F-Test in fünf Testschritten (c, Schritte 8 bis 11).
Standardfehler, dann t-Tests in fünf Testschritten (d, Schritte 12 bis 17).

Merke: Das Bestimmtheitsmaß beschreibt nur die fünf Häuser. Ob der Zusammenhang allgemein gilt, sagt erst ein Test: der F-Test für das ganze Modell, der t-Test für jeden Koeffizienten.

Das Modell mit zwei Einflussgrößen

Regressionsgleichung der Aufgabe

\hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 = 0{,}45 + 1{,}05\,x_1 + 0{,}25\,x_2

Eine multiple Regression (multiple heißt „mehrfach“) schätzt eine Größe aus mehreren anderen zugleich. Der Umsatz $y$ ist die abhängige Variable: Er soll erklärt werden. Einwohnerzahl $x_1$ und Größe $x_2$ sind die unabhängigen Variablen: Sie erklären.

Die Zahlen der Gleichung haben feste Namen:

$\hat{y}$ (sprich „y Dach“) ist der Schätzwert: der Umsatz, den die Gleichung vorhersagt.
$b_0 = 0{,}45$ ist die Konstante (der Achsenabschnitt).
$b_1 = 1{,}05$ und $b_2 = 0{,}25$ sind die Regressionsgewichte (auch Regressionskoeffizienten).
$K = 5$ ist die Zahl der Beobachtungen (Häuser), $J = 2$ die Zahl der erklärenden Variablen. Beide Buchstaben braucht man später für die Tests.

Aus Probeklausur 1, Aufgabe 4 („Restaurants: Regressionsgerade, Bestimmtheitsmaß, Korrelation“): Bei der Einfachregression erklärt eine einzige Größe

x

die Zielgröße

y

, mit der Geraden

\hat{y} = a + b\,x

. Hier kommt eine zweite Größe dazu.

Die beiden Gewichte deuten

Probe am Beispiel: x1 um 1 erhöhen, x2 = 5 festhalten

\hat{y}(x_1{=}4,\ x_2{=}5) - \hat{y}(x_1{=}3,\ x_2{=}5) = (0{,}45 + 4{,}20 + 1{,}25) - (0{,}45 + 3{,}15 + 1{,}25) = 1{,}05

$b_1 = 1{,}05$ : Liegt ein Modehaus in einer Stadt mit 100.000 Einwohnern mehr und ist es gleich groß, steigt der geschätzte Umsatz um 1,05 Mio. Euro (1.050.000 Euro).

$b_2 = 0{,}25$ : Ist ein Modehaus 1.000 m² größer und liegt es in einer gleich großen Stadt, steigt der geschätzte Umsatz um 0,25 Mio. Euro (250.000 Euro).

Ein Gewicht sagt, um wie viel sich der geschätzte Umsatz ändert, wenn seine Größe um 1 wächst und die andere Größe gleich bleibt. Warum „gleich bleibt“? Weil in der Gleichung beide Größen stehen: Ändert man nur $x_1$ , ändert sich nur der Teil $1{,}05\,x_1$ .

Wichtig sind die Einheiten: „um 1“ heißt bei $x_1$ um 100.000 Einwohner, bei $x_2$ um 1.000 m². Das Ergebnis ist in Mio. Euro.

Modehäuser: multiple Regression und F-Test

Die Aufgabe

Das Modell mit zwei Einflussgrößen

Die beiden Gewichte deuten

Umsatz und Schätzwert

Abbildung 1a) Die Regressionsgewichte deuten

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Das Modell mit zwei Einflussgrößen

Schritt 2Die beiden Gewichte deuten

Umsatz und Schätzwert

Abbildung 1a) Die Regressionsgewichte deuten

Die Aufgabe

Das Modell mit zwei Einflussgrößen

Die beiden Gewichte deuten