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Statistik · Übungsblatt 8 · Aufgabe 3

Migränemittel: Prognose und Test der Koeffizienten

Eine Pharmafirma testet ein Migränemittel in 8 Städten. Die Absatzmenge hängt von Vertretern, Werbung und Preis ab. Die Regressionsgleichung ist gegeben. Mit ihr wird eine Prognose gemacht, ein Preis gewählt, die Genauigkeit beurteilt und getestet, welche Einflüsse gesichert sind. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 3

Die pharmatis AG möchte ein neues Migränemedikament auf dem Markt etablieren. Dazu hat sie einen Markttest in 8 verschiedenen Städten durchgeführt. Dabei variierte die pharmatis AG jeweils 1. die Anzahl der Pharmavertreter, die die Ärzte über das neue Medikament informieren, 2. die Werbeausgaben, um das Interesse der Konsumenten zu wecken und 3. den Preis für eine Packung des Medikaments. Folgende Tabelle zeigt einige zusammengefasste Ergebnisse für die Arbeitstabelle einer Regressionsanalyse:

Stadt Nr.Vertreter x1x_1Werbung in 1.000 EUR x2x_2Preis in EUR x3x_3Absatzmenge in Mio. Stück yySchätzung y^\hat{y}Gesamtstreuung (y−yˉ)2(y - \bar{y})^2
Σ 1.–8.7518130160160,00180,00

Als Ergebnis einer multiplen Regressionsanalyse ergab sich bei einem Bestimmtheitsmaß von 0,85 folgende Gleichung:

y^=4+0,8⋅x1+0,4⋅x2−1,2⋅x3\hat{y} = 4 + 0{,}8 \cdot x_1 + 0{,}4 \cdot x_2 - 1{,}2 \cdot x_3
  1. Erläutern Sie, welchem Zweck eine Regressionsanalyse dient. Gehen Sie dabei auch auf die Begriffe „abhängige Variable“ und „unabhängige Variable“ ein.
  2. Der Marketingleiter der pharmatis AG schlägt vor, 10 Vertreter einzustellen und 20 Tsd. EUR für Werbemaßnahmen auszugeben. Sollte das Unternehmen bei diesem Vorschlag entweder 8 EUR oder besser 9 EUR pro Packung verlangen, wenn es seinen Umsatz maximieren möchte? Zur Erinnerung: Umsatz = Preis * Absatzmenge.
  3. Der Standardfehler sei 2,6. Ermitteln Sie den relativen Standardfehler und interpretieren Sie diesen Wert.
  4. Formulieren Sie eine ausführliche Nullhypothese zur Beurteilung des Regressionszusammenhangs und überprüfen Sie diese für ein Signifikanzniveau von 5%.
  5. Die Standardfehler für die einzelnen Regressionskoeffizienten lauten: sb1=0,1s_{b_1} = 0{,}1; sb2=0,2s_{b_2} = 0{,}2 und sb3=0,3s_{b_3} = 0{,}3. Ermitteln Sie, für welche der zwei Signifikanzniveaus α=0,05; α=0,01 die drei Regressionskoeffizienten signifikant sind.

In eigenen Worten: In 8 Städten wurden drei Dinge verändert: die Zahl der Pharmavertreter x1x_1, die Werbeausgaben x2x_2 (in 1.000 Euro) und der Preis je Packung x3x_3 (in Euro). Gemessen wurde die Absatzmenge yy (in Mio. Packungen; die Tabelle sagt „Mio. Stück“, ein Stück ist eine Packung). Gegeben sind die Gleichung, das Bestimmtheitsmaß 0,85 und einige Summen. Gesucht ist:

  • a) wozu eine Regression dient, mit „abhängig“ und „unabhängig“,
  • b) ob 8 oder 9 Euro je Packung mehr Umsatz bringen,
  • c) der relative Standardfehler bei s=2,6s = 2{,}6, mit Deutung,
  • d) eine ausführliche Nullhypothese und der F-Test bei α = 5 %,
  • e) bei welchem Niveau (5 % oder 1 %) jeder der drei Koeffizienten signifikant ist.

Der Weg:

  1. Zweck und Begriffe (a, Schritt 1).
  2. Absatz für beide Preise schätzen, dann Umsätze vergleichen (b, Schritte 2 bis 4).
  3. Mittelwert, dann relativer Standardfehler (c, Schritte 5 und 6).
  4. F-Test in fünf Testschritten (d, Schritte 7 bis 10).
  5. t-Tests für beide Niveaus (e, Schritte 11 bis 14).

Zu den Summen: Gebraucht werden nur ∑y=160\sum y = 160 und die Gesamtstreuung 180. Die Summen der xx passen nicht zur Gleichung: An den Mittelwerten (9,375 Vertreter, 22,625 Tsd. Euro, 3,75 Euro) müsste sie den mittleren Absatz 20 treffen, sie ergibt aber 16,05. Ein mittlerer Preis von 3,75 Euro passt auch nicht zu den Preisen 8 und 9 Euro aus b). Für die Lösung spielt das keine Rolle.

Merke: Eine Prognose setzt Werte in die Gleichung ein, in den Einheiten der Tabelle. Der F-Test prüft das ganze Modell, der t-Test jeden Koeffizienten einzeln.

Zweck der Regression, abhängige und unabhängige Variable

  • Abhängige Variable yy: die Größe, die erklärt werden soll. Hier die Absatzmenge. Sie „hängt ab“ von den anderen.
  • Unabhängige Variablen x1,x2,x3x_1, x_2, x_3: die Größen, die erklären. Hier Vertreter, Werbung und Preis. Die Firma kann sie selbst festlegen.

Antwort a): Die Regressionsanalyse untersucht, wie stark die abhängige Variable (Absatzmenge) von den unabhängigen Variablen (Vertreter, Werbung, Preis) beeinflusst wird. Sie liefert dafür eine Gleichung. Mit ihr lassen sich Einflüsse messen und Werte der abhängigen Variablen vorhersagen.

Eine Regression beschreibt, wie eine Größe von anderen Größen abhängt, als Gleichung. Mit der Gleichung kann man zwei Dinge tun: den Einfluss jeder Größe in Zahlen ausdrücken und Werte vorhersagen (Prognose).

In der Grafik schieben die drei Variablen die Absatzmenge nach oben oder unten. Das ist genau die Rolle von unabhängiger und abhängiger Variable.

Absatzmenge bei 8 Euro

Einsetzen: 10 Vertreter, 20 Tsd. Euro Werbung, 8 Euro
y^=4+0,8⋅10+0,4⋅20−1,2⋅8\hat{y} = 4 + 0{,}8 \cdot 10 + 0{,}4 \cdot 20 - 1{,}2 \cdot 8
=4+8+8−9,6=10,4= 4 + 8 + 8 - 9{,}6 = 10{,}4

Bei 8 Euro werden geschätzt 10,4 Mio. Packungen verkauft.

Für eine Prognose setzt man die geplanten Werte in die Gleichung ein. Wichtig sind die Einheiten der Tabelle: Werbung steht in 1.000 Euro, also wird aus 20 Tsd. Euro die Zahl x2=20x_2 = 20. Vertreter: x1=10x_1 = 10. Preis: x3=8x_3 = 8.

Das Minus vor 1,2 heißt: Ein höherer Preis senkt die Absatzmenge.

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Prognose der Absatzmenge

Beitrag jeder Variablen

Abbildung 1a) Wozu eine Regression dient

abhängige und unabhängige Variablen

05101520Absatzmenge in Mio. PackungenKonstante4Vertreter+8Werbung+8Preis−9,6Absatz10,49 Euro: −10,89,2
Legendeviolett: Beitrag nach oben und geschätzte Absatzmengerot: Abzug durch den Preis (gestrichelt: 9 Euro)Aufbau der geschätzten Absatzmenge.