Getränkeumsatz: Dummy-Variable Geschlecht

Die Aufgabe

Aufgabe 4

In Spanien ist die Sommersaison zu Ende und Getränkeverkäufer Fernando Garcia hat anhand einer Marktforschungsstudie ermitteln lassen, dass sein Umsatz mit Getränken pro Kunde ( $y$ ) ganz entscheidend von zwei Faktoren abhängt: von der Temperatur in Celsius ( $x_1$ ) und vom Geschlecht ( $x_2$ ). Die Dummy-Variable dabei hat die folgenden Ausprägungen: 0=Frauen, 1=Männer.

Den folgenden funktionalen Zusammenhang hat er anhand der Umsätze der letzten 14 Kunden bzw. Kundinnen ermittelt (in EUR).

\hat{y} = 5{,}5 + 0{,}21 \cdot x_1 + 3{,}2 \cdot x_2

Interpretieren Sie die Regressionskoeffizienten der ersten erklärenden Variablen ( $b_1 = 0{,}21$ ).
Interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß von 0,6.
Ermitteln Sie nun, ob der in der Ausgangslage dargestellte Zusammenhang bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% als signifikant bezeichnet werden kann.

In eigenen Worten: Für die letzten 14 Kunden kennt Fernando Garcia den Getränkeumsatz $y$ in Euro, die Temperatur $x_1$ in Grad Celsius und das Geschlecht $x_2$ : 0 für Frauen, 1 für Männer. Daraus wurde die Gleichung bestimmt. Gesucht ist:

a) was das Gewicht 0,21 der Temperatur bedeutet,
b) was das Bestimmtheitsmaß 0,6 bedeutet,
c) ob der Zusammenhang bei α = 5 % signifikant ist.

Der Weg:

Modell und Dummy-Variable verstehen, das Gewicht deuten (a, Schritte 1 und 2).
Ergänzung: das Gewicht der Dummy-Variablen (Schritt 3).
Das Bestimmtheitsmaß deuten (b, Schritt 4).
F-Test in fünf Testschritten (c, Schritte 5 bis 8).

Merke: Eine Dummy-Variable kennt nur 0 und 1. Ihr Gewicht ist der Unterschied zwischen den beiden Gruppen bei sonst gleichen Werten.

Das Modell und die Dummy-Variable

Die Gleichung für beide Werte der Dummy-Variablen

\text{Frauen } (x_2 = 0):\ \hat{y} = 5{,}5 + 0{,}21\,x_1 + 3{,}2 \cdot 0 = 5{,}5 + 0{,}21\,x_1

\text{Männer } (x_2 = 1):\ \hat{y} = 5{,}5 + 0{,}21\,x_1 + 3{,}2 \cdot 1 = 8{,}7 + 0{,}21\,x_1

Die Gleichung schätzt den Umsatz $\hat{y}$ (sprich „y Dach“) aus zwei Größen: Sie ist eine multiple Regression. Die Temperatur ist eine Zahl. Das Geschlecht ist ein Merkmal ohne Zahlenwert (nominal). Damit es in eine Gleichung passt, setzt man eine Dummy-Variable ein: eine Hilfsgröße, die nur 0 oder 1 sein kann. Hier: 0 für Frauen, 1 für Männer.

Setzt man beide Werte ein, entstehen zwei Geraden mit derselben Steigung. In der Grafik liegen sie parallel übereinander.

Aus Blatt 8, Aufgabe 1 („Modehäuser: multiple Regression und F-Test“): Ein Gewicht sagt, um wie viel sich der Schätzwert ändert, wenn seine Größe um 1 wächst und die anderen Größen gleich bleiben.

b1 = 0,21 deuten

Beispiel: eine Kundin bei 20 und bei 21 Grad

\hat{y}(20) = 5{,}5 + 0{,}21 \cdot 20 = 5{,}5 + 4{,}20 = 9{,}70

\hat{y}(21) = 5{,}5 + 0{,}21 \cdot 21 = 5{,}5 + 4{,}41 = 9{,}91

9{,}91 - 9{,}70 = 0{,}21

Antwort a): Steigt die Temperatur um 1 Grad Celsius, steigt der geschätzte Getränkeumsatz pro Kunde um 0,21 Euro (21 Cent), bei gleichem Geschlecht.

Man vergleicht zwei Kunden gleichen Geschlechts an zwei Tagen, die 1 Grad auseinanderliegen. In der Gleichung ändert sich nur $0{,}21 \cdot x_1$ , und zwar um 0,21. Die Einheit ist die von $y$ : Euro pro Kunde.

In der Grafik ist 0,21 die Steigung beider Geraden. Das Dreieck zeigt 10 Grad auf einmal, weil 1 Grad zu klein zum Sehen wäre: $10 \cdot 0{,}21 = 2{,}10$ Euro.

Getränkeumsatz: Dummy-Variable Geschlecht

Die Aufgabe

Das Modell und die Dummy-Variable

b1 = 0,21 deuten

Umsatz und Temperatur

Abbildung 1a) Das Gewicht der Temperatur deuten

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Das Modell und die Dummy-Variable

Schritt 2b1 = 0,21 deuten

Umsatz und Temperatur

Abbildung 1a) Das Gewicht der Temperatur deuten

Die Aufgabe

Das Modell und die Dummy-Variable

b1 = 0,21 deuten