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Statistik · Übungsblatt 8 · Aufgabe 5

Logistikkosten: Einheiten, R², Signifikanz

Ein Versandhändler will verstehen, wovon die Kosten seines Lagers abhängen: vom Umsatz und von der Zahl der Aufträge. Die Regressionsgleichung und eine Arbeitstabelle mit Summen sind gegeben. Die größte Hürde sind die Einheiten. Danach folgen Prognose, Bestimmtheitsmaß, F-Test und t-Test. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 5

Ein Versandhändler für PC-Hardware und -Software unterhält ein Zentrallager. Das Management möchte den Logistikprozess und die damit in Zusammenhang stehenden Kosten dieses Lagers analysieren. Zurzeit wird unabhängig von der Größe der Bestellung eine geringe Versandkostenpauschale berechnet. In den vergangenen 23 Monaten wurden die Daten zu den Logistikkosten (yy in 1.000 EUR), den Umsätzen (x1x_1 in 1.000 EUR) und der Anzahl von Aufträgen (x2x_2) erhoben.

Es ergab sich folgende Regressionsgleichung:

y^=−2,77+0,047⋅x1+0,012⋅x2\hat{y} = -2{,}77 + 0{,}047 \cdot x_1 + 0{,}012 \cdot x_2

Aus der Arbeitstabelle für die Regression sind die folgenden Summen bekannt:

Nr.x1x_1x2x_2yyy^\hat{y}(y^−y)2(\hat{y} - y)^2(y−yˉ)2(y - \bar{y})^2x12x_1^2x22x_2^2
Σ 1.–23.……………
Summe10.541101.2711.6431.6434773.8244.982.081458.344.481
  1. Interpretieren Sie die Regressionskoeffizienten für die unabhängigen Variablen in der Regressionsgleichung. Achten Sie dabei auf die Einheiten der Variablen!
  2. Warum hat die Konstante in dieser Regressionsgleichung keine praktische Aussagekraft?
  3. Welche Logistikkosten sind bei einem Umsatz von 400.000 EUR und 4.500 Aufträgen zu erwarten? Achten Sie wiederum auf die korrekten Einheiten!
  4. Ermitteln Sie das Bestimmtheitsmaß, interpretieren und beurteilen Sie diesen Wert.
  5. Ist der im Regressionsmodell unterstellte Zusammenhang bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% signifikant?
  6. Analysieren Sie für welche der drei Signifikanzniveaus α=0,1; α=0,05; α=0,01 der Regressionskoeffizient x1x_1 (Umsätze) signifikant für das Modell ist. (sb1=0,0126s_{b_1} = 0{,}0126)

In eigenen Worten: Für 23 Monate kennt man die Logistikkosten yy und den Umsatz x1x_1, beide in 1.000 Euro, und die Zahl der Aufträge x2x_2. x1=400x_1 = 400 heißt also 400.000 Euro Umsatz, y=70y = 70 heißt 70.000 Euro Kosten. Gesucht ist:

  • a) was die Gewichte 0,047 und 0,012 bedeuten, mit Einheiten,
  • b) warum die Konstante −2,77 nichts aussagt,
  • c) die erwarteten Kosten bei 400.000 Euro Umsatz und 4.500 Aufträgen,
  • d) das Bestimmtheitsmaß, gedeutet und beurteilt,
  • e) ob der Zusammenhang bei 5 % signifikant ist (F-Test),
  • f) bei welchem der Niveaus 10 %, 5 %, 1 % das Gewicht des Umsatzes signifikant ist.

Der Weg:

  1. Einheiten klären und die Gewichte deuten (a, Schritte 1 bis 3).
  2. Die Konstante beurteilen (b, Schritt 4).
  3. Werte umrechnen und einsetzen (c, Schritte 5 und 6).
  4. Streuung zerlegen, Bestimmtheitsmaß (d, Schritte 7 und 8).
  5. F-Test in fünf Testschritten (e, Schritte 9 bis 12).
  6. t-Test für drei Niveaus (f, Schritte 13 bis 16).

Zur Tabelle: Die Spalte mit 477 heißt im Original (y^−y)2(\hat{y} - y)^2. Das sind die quadrierten Abstände zwischen Schätzwert und Messwert, also die nicht erklärte Streuung (der Rest). Die Spalte mit 3.824 ist die Gesamtstreuung.

Merke: Erst die Einheiten, dann rechnen. Ein Gewicht hat die Einheit von yy je Einheit seiner Größe: hier 1.000 Euro Kosten je 1.000 Euro Umsatz bzw. je Auftrag.

Das Modell und seine Einheiten

Gleichung mit Einheiten
y^⏟1.000 Euro=−2,77+0,047⋅x1⏟1.000 Euro+0,012⋅x2⏟Auftra¨ge\underbrace{\hat{y}}_{\text{1.000 Euro}} = -2{,}77 + 0{,}047 \cdot \underbrace{x_1}_{\text{1.000 Euro}} + 0{,}012 \cdot \underbrace{x_2}_{\text{Aufträge}}

Die Gleichung schätzt die Kosten y^\hat{y} (sprich „y Dach“) aus zwei Größen zugleich: eine multiple Regression. Die Zahlen vor x1x_1 und x2x_2 sind die Regressionsgewichte b1b_1 und b2b_2.

Ein Gewicht sagt, um wie viel sich der Schätzwert ändert, wenn seine Größe um 1 wächst und die andere gleich bleibt. „Um 1“ heißt aber je nach Größe etwas anderes. Darum schreibt man die Einheiten zuerst auf.

Aus Blatt 8, Aufgabe 1 („Modehäuser: multiple Regression und F-Test“): Dort waren die Einheiten 100.000 Einwohner und 1.000 m²; ein Gewicht von 1,05 hieß 1,05 Mio. Euro je 100.000 Einwohner.

b1 = 0,047 deuten

Einheit umrechnen
0,047⋅1.000 Euro=47 Euro0{,}047 \cdot 1.000 \ \text{Euro} = 47 \ \text{Euro}

b1=0,047b_1 = 0{,}047: Steigt der Umsatz um 1.000 Euro und bleibt die Zahl der Aufträge gleich, steigen die geschätzten Logistikkosten um 47 Euro.

x1x_1 wächst um 1, also um 1.000 Euro Umsatz. Dann wächst y^\hat{y} um 0,047. Da yy in 1.000 Euro steht, sind das 0,047 · 1.000 Euro.

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Prognose der Logistikkosten

in 1.000 Euro

Abbildung 1a) Die Gewichte mit Einheiten deuten

was 0,047 und 0,012 in Euro bedeuten

020406080Logistikkosten in 1.000 EuroKonstante−2,77Umsatz+18,80Aufträge+54,00Kosten70,03
Legendeviolett: Beitrag nach oben und Summerot: Konstante (negativ, unter der Nulllinie)Prognose der Logistikkosten in 1.000 Euro.