Teilzahlungskredit

Schritt 0 Die Aufgabe

Petra und Peter sind frisch verliebt und richten sich ihre erste gemeinsame Wohnung ein. Da beide studieren und noch kein Geld angespart haben, müssen sie einen Ratenkredit für die Grundausstattung der Wohnung aufnehmen. Das Kreditangebot lautet über 10.000,00 Euro mit einem monatlichen Zins von 0,3 %. Die Bearbeitungsgebühr beträgt 2 % und die Laufzeit beträgt 36 Monate.

Wie hoch sind die Gesamtkosten des Teilzahlungskredits? (4 Punkte)
Wie hoch ist die monatliche Rate? (2 Punkte)
Wie viele Zinsen wurden insgesamt bezahlt? (1 Punkt)

Die Ausgangslage

was gegeben ist und worauf der Zins gerechnet wird

Schritt 1 Die gegebenen Zahlen ordnen

Größe	Zeichen	gegeben	als Dezimalzahl
Kreditbetrag (geliehenes Geld)	$K$	10.000,00 €	–
Zinssatz je Monat	$i$	0,3 %	0,003
Bearbeitungsgebühr, einmalig	$b$	2 %	0,02
Laufzeit	$n$	36 Monate	–

Prozent heißt „von hundert“: durch 100 teilen

0{,}3\ \% = \frac{0{,}3}{100} = 0{,}003 \qquad\qquad 2\ \% = \frac{2}{100} = 0{,}02

Schritt 2 Worauf die Zinsen gerechnet werden

Teilzahlungskredit: der Zins wird jeden Monat vom vollen Kreditbetrag berechnet

\text{Zins im Monat} = K \cdot i \qquad \text{in allen 36 Monaten gleich}

Zum Vergleich, hier nicht vereinbart: Zins auf die Restschuld

\text{Zins im Monat} = \text{Restschuld} \cdot i \qquad \text{wird jeden Monat kleiner}

(a) Die Gesamtkosten

alles, was über die geliehenen 10.000 € hinaus zu zahlen ist

Schritt 3 Der Zins in einem Monat

0,3 % vom Kreditbetrag

Z_M = K \cdot i = 10.000{,}00 \cdot 0{,}003 = 30{,}00\ \text{Euro}

Schritt 4 Die Zinsen über die ganze Laufzeit

Monatszins mal 36 Monate, nicht mal 3 Jahre

Z = Z_M \cdot n = 30{,}00 \cdot 36 = 1.080{,}00\ \text{Euro}

derselbe Wert in einer Zeile

Z = K \cdot i \cdot n = 10.000 \cdot 0{,}003 \cdot 36 = 10.000 \cdot 0{,}108 = 1.080{,}00\ \text{Euro}

Schritt 5 Die Bearbeitungsgebühr

2 % vom Kreditbetrag, nur einmal

B = K \cdot b = 10.000{,}00 \cdot 0{,}02 = 200{,}00\ \text{Euro}

Schritt 6 Die Restschuldversicherung

in der Aufgabe nicht genannt, also nicht vereinbart

V = 0{,}00\ \text{Euro}

Schritt 7 Die Gesamtkosten

Kostenart	Herkunft	Betrag
Zinsen $Z$	Schritt 4	1.080,00 €
Bearbeitungsgebühr $B$	Schritt 5	200,00 €
Restschuldversicherung $V$	Schritt 6	0,00 €
Gesamtkosten $GK$	Summe	1.280,00 €

Alle Kostenarten addieren; das geliehene Geld selbst gehört nicht dazu

GK = Z + B + V = 1.080{,}00 + 200{,}00 + 0{,}00 = 1.280{,}00\ \text{Euro}

(b) Die monatliche Rate

alles, was zurückzuzahlen ist, gleichmäßig auf 36 Monate verteilt

Schritt 8 Der Rückzahlungsbetrag

geliehenes Geld plus alle Kosten

RB = K + GK = 10.000{,}00 + 1.280{,}00 = 11.280{,}00\ \text{Euro}

Schritt 9 Die monatliche Rate

Rückzahlungsbetrag geteilt durch die Zahl der Monate

r = \frac{RB}{n} = \frac{11.280{,}00}{36}

Division in zwei Stücken: 36 · 313 = 11.268, es bleiben 12 übrig

\frac{11.280}{36} = 313 + \frac{12}{36} = 313 + 0{,}333\ldots = 313{,}333\ldots\ \text{Euro}

auf ganze Cent gerundet (zwei Nachkommastellen); die dritte Stelle ist eine 3, also abrunden

r \approx 313{,}33\ \text{Euro}

Schritt 10 Die Rate in drei Teile zerlegen

Probe, für die Klausur nicht nötig.

Teil der Rate	Rechnung	ungerundet	auf Cent gerundet
Tilgung	10.000,00 : 36	277,777… €	277,78 €
Zins	10.000,00 · 0,003	30,000 €	30,00 €
Bearbeitungsgebühr	200,00 : 36	5,555… €	5,56 €
Summe	Probe zu Schritt 9	313,333… €	313,34 €

Schritt 11 Die letzte Rate gleicht die Rundung aus

Ergänzung, nicht gefragt: Für die Klausur reicht 313,33 €.

36 gerundete Raten ergeben nicht ganz den Rückzahlungsbetrag

\begin{aligned} 36 \cdot 313{,}33 &= 11.279{,}88\ \text{Euro} \\ 11.280{,}00 - 11.279{,}88 &= 0{,}12\ \text{Euro} \end{aligned}

Die 12 Cent kommen auf die letzte Rate

\begin{aligned} \text{letzte Rate} &= 313{,}33 + 0{,}12 = 313{,}45\ \text{Euro} \\ \text{Probe:}\quad 35 \cdot 313{,}33 + 313{,}45 &= 10.966{,}55 + 313{,}45 = 11.280{,}00\ \text{Euro} \end{aligned}

(c) Die gezahlten Zinsen

drei Summen, gefragt ist nur eine

Schritt 12 Die Zinsen von den anderen Summen trennen

Summe	enthält	Betrag
Zinsen $Z$ , gefragt in (c)	nur Zins	1.080,00 €
Gesamtkosten $GK$ , gefragt in (a)	Zins + Gebühr + Versicherung	1.280,00 €
Rückzahlungsbetrag $RB$	Kosten + geliehenes Geld	11.280,00 €

Einordnung

Ergänzung, für die Klausur nicht nötig: warum der Kredit teurer ist, als 0,3 % klingen

Schritt 13 Vergleich mit Zins auf die Restschuld

Durchschnittliche Schuld am Monatsanfang: Mittelwert aus 1. Monat (10.000,00) und 36. Monat (277,78); jedes Paar 1+36, 2+35, … ergibt 10.277,78

\bar{K} = \frac{10.000{,}00 + 277{,}78}{2} = \frac{10.277{,}78}{2} = 5.138{,}89\ \text{Euro}

Zinsen, wenn nur die Restschuld verzinst würde

\bar{K} \cdot i \cdot n = 5.138{,}89 \cdot 0{,}003 \cdot 36 = 5.138{,}89 \cdot 0{,}108 = 555{,}00\ \text{Euro}

Unterschied zum Teilzahlungskredit

1.080{,}00 - 555{,}00 = 525{,}00\ \text{Euro}

Schritt 14 Der effektive Jahreszins

Nur für Interessierte, für die Klausur nicht nötig.

Nominaler Jahreszins: der Monatssatz mal 12

0{,}3\ \% \cdot 12 = 3{,}6\ \%\ \text{pro Jahr}

Effektiver Jahreszins, Näherung: Kosten je Jahr im Verhältnis zum Geld, das im Schnitt geliehen war

i_{\text{eff}} \approx \frac{GK}{\bar{K} \cdot \text{Jahre}} = \frac{1.280{,}00}{5.138{,}89 \cdot 3} = \frac{1.280{,}00}{15.416{,}67} = 0{,}0830 = 8{,}3\ \%\ \text{pro Jahr}

Zwei Ursachen: dieselbe Näherung ohne Gebühr, nur mit den Zinsen

\frac{1.080{,}00}{15.416{,}67} \approx 0{,}070 = 7{,}0\ \%\ \text{pro Jahr}

\underbrace{3{,}6\ \%}_{\text{nominal}} \;\xrightarrow{\;+\,3{,}4\ \text{Punkte: Zinsbasis}\;}\; 7{,}0\ \% \;\xrightarrow{\;+\,1{,}3\ \text{Punkte: Gebühr}\;}\; 8{,}3\ \%

Schritt 15 Ergebnis

✓(a) Gesamtkosten: 1.280,00 € (1.080,00 € Zinsen + 200,00 € Bearbeitungsgebühr + 0,00 € Restschuldversicherung)

✓(b) Monatliche Rate: 313,33 €. Das ist die Klausurantwort. Nebenbei: Die letzte Rate ist wegen der Rundung 313,45 €, siehe Schritt 11.

✓(c) Gezahlte Zinsen: 1.080,00 €

Position	Rechnung	Betrag
Gesamtzinsen	30,00 · 36	1.080,00 €
Bearbeitungsgebühr	10.000,00 · 0,02	200,00 €
Restschuldversicherung	nicht vereinbart	0,00 €
Gesamtkosten (a)	1.080,00 + 200,00 + 0,00	1.280,00 €
Rückzahlungsbetrag	10.000,00 + 1.280,00	11.280,00 €
Monatliche Rate (b)	11.280,00 : 36	313,33 €
davon Zins je Monat	10.000,00 · 0,003	30,00 €
davon Gebühr je Monat	200,00 : 36	5,56 €
Gezahlte Zinsen (c)	nur der Zins, ohne Gebühr	1.080,00 €

Für 10.000 € geliehenes Geld zahlen Petra und Peter 1.280 € drauf. Das sind 12,8 % des Kreditbetrags in drei Jahren.

Zins	der Preis für das Leihen. Er fällt jeden Monat an, hier 0,3 % im Monat.
Bearbeitungsgebühr	ein Betrag für die Arbeit der Bank beim Abschluss. Er fällt nur einmal an, hier 2 %.

Merkmal in der Aufgabe	Zinsbasis
Ratenkredit bzw. Teilzahlungskredit und ein Zinssatz pro Monat (hier beides)	in jedem Monat der ursprüngliche Kreditbetrag, hier 10.000 €
Darlehen mit Tilgungsplan und ein Zinssatz pro Jahr	die jeweilige Restschuld

$K$	der Kreditbetrag: das Geld, das Petra und Peter ausgezahlt bekommen, 10.000,00 €
$i$	der Zinssatz je Monat, 0,3 %
$b$	der Satz der Bearbeitungsgebühr, 2 %
$n$	die Laufzeit: so viele Monate wird zurückgezahlt, 36