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BWL · Probeklausur · Aufgabe 27

Die halbe Entscheidung hängt an der Autobahn

Eine Möbelhauskette sucht unter drei Städten den besten Standort. Gesucht sind die gewichteten Teilnutzen jedes Standorts und eine begründete Empfehlung. Das Werkzeug dafür heißt Nutzwertanalyse. Sie macht Euro, Kilometer und Worturteile vergleichbar. Der Weg: erst jede Angabe in Punkte von 0 bis 10 übersetzen, dann jede Punktzahl mit dem Gewicht ihres Kriteriums malnehmen, dann je Standort alles addieren und die Summen vergleichen. Für die Klausur reichen die Schritte 1 bis 11 und das Ergebnis. Die Schritte 12 bis 15 zeigen zusätzlich, wie sicher die Empfehlung ist. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit → geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

27. Nutzwertanalyse (16 Punkte)

Eine Möbelhauskette sucht einen neuen Standort. Es wurden von Immobilienmaklern vorläufig drei Standorte in verschiedenen Großstädten in Rheinland-Pfalz angeboten.

Zielbestimmung: Das Hauptziel ist das Identifizieren eines „guten Standorts“, und zwar sowohl hinsichtlich der Kunden als auch der Beschaffungsperspektive.

Das Management der Möbelhauskette legt folgende Kriterien mit den entsprechenden Gewichtungen fest:

Kriterium Gewichtung
Mietkosten 20 %
Kaufkraft 15 %
Einzugsgebiet 15 %
Autobahnanschluss 50 %

Beurteilungsmerkmale

Mietkosten Punkte Autobahnanschluss Punkte
2.000 € 0 100 km 0
1.800 € 2 80 km 2
1.600 € 4 60 km 4
1.400 € 6 40 km 6
1.200 € 8 20 km 8
1.000 € 10 Ab 10 km 10
Textuelle Beurteilung
0 = nicht erfüllt 6 = befriedigend
1 = sehr schlecht 7 = ziemlich gut
2 = schlecht 8 = gut
3 = ziemlich schlecht 9 = sehr gut
4 = mangelhaft 10 = ausgezeichnet
5 = genügend

Die drei in Frage kommenden Standorte sind:

Standort Trier: Die Mietkosten betragen 1.600 Euro. Das Einzugsgebiet wird ebenso wie die Kaufkraft als sehr gut eingeschätzt. Der nächste Autobahnanschluss ist 20 km entfernt.

Standort Koblenz: Die Mietkosten sind hoch und liegen bei 1.800 Euro. Das Einzugsgebiet wird ebenso wie die Kaufkraft als gut eingeschätzt. Der nächste Autobahnanschluss ist 40 km entfernt.

Standort Neustadt an der Weinstraße: Die Mietkosten sind günstig und betragen 1.200 Euro. Das Einzugsgebiet ist gut, allerdings wird die Kaufkraft nur als befriedigend eingeschätzt. Der nächste Autobahnanschluss ist 60 km entfernt.

Aufgabe:

  1. a) Wie hoch ist der jeweilige gewichtete Teilnutzen?
  2. b) Welcher Standort ist zu empfehlen? Begründen Sie Ihre Antwort!

Die Ausgangslage

was gegeben ist und wie schwer jedes Kriterium wiegt

Schritt 1 Die Angaben ordnen

Standort Mietkosten Kaufkraft Einzugsgebiet Entfernung zur Autobahn
Trier 1.600 € sehr gut sehr gut 20 km
Koblenz 1.800 € gut gut 40 km
Neustadt a. d. W. 1.200 € befriedigend gut 60 km

Drei verschiedene Einheiten: Euro, Worturteile, Kilometer. Kein Standort ist überall am besten.

Schritt 2 Die Gewichte prüfen

Kriterium Sicht Gewicht in % Gewicht als Dezimalzahl
Mietkosten Kosten 20 % 0,20
Kaufkraft Kunden 15 % 0,15
Einzugsgebiet Kunden 15 % 0,15
Autobahnanschluss Beschaffung 50 % 0,50
zusammen 100 % 1,00
Probe: Die Gewichte ergeben zusammen 100 %. Prozent in Dezimalzahl: durch 100 teilen.
20 %+15 %+15 %+50 %=100 %⟺0,20+0,15+0,15+0,50=1,0020\,\% + 15\,\% + 15\,\% + 50\,\% = 100\,\% \qquad\Longleftrightarrow\qquad 0{,}20 + 0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}50 = 1{,}00

Punkte vergeben

Euro, Kilometer und Worte auf dieselbe Skala von 0 bis 10 bringen

Schritt 3 Die Mietkosten in Punkte übersetzen

Mietkosten Punkte Standort
2.000 € 0
1.800 € 2 Koblenz
1.600 € 4 Trier
1.400 € 6
1.200 € 8 Neustadt
1.000 € 10
Probe als Formel: je 200 € weniger Miete gibt es 2 Punkte mehr, also 1 Punkt je 100 €
Punkte=2.000−Miete100\text{Punkte} = \frac{2.000 - \text{Miete}}{100}
Trier:2.000−1.600100=400100=4Koblenz:2.000−1.800100=200100=2Neustadt:2.000−1.200100=800100=8\begin{aligned} \text{Trier:} &\quad \frac{2.000 - 1.600}{100} = \frac{400}{100} = 4 \\ \text{Koblenz:} &\quad \frac{2.000 - 1.800}{100} = \frac{200}{100} = 2 \\ \text{Neustadt:} &\quad \frac{2.000 - 1.200}{100} = \frac{800}{100} = 8 \end{aligned}

Schritt 4 Den Autobahnanschluss in Punkte übersetzen

Entfernung zur Autobahn Punkte Standort
100 km 0
80 km 2
60 km 4 Neustadt
40 km 6 Koblenz
20 km 8 Trier
10 km und weniger („Ab 10 km“) 10
Probe als Formel für die Stufen von 20 bis 100 km: je 20 km näher gibt es 2 Punkte mehr, also 1 Punkt je 10 km
Punkte=100−Entfernung10\text{Punkte} = \frac{100 - \text{Entfernung}}{10}
Trier:100−2010=8010=8Koblenz:100−4010=6010=6Neustadt:100−6010=4010=4\begin{aligned} \text{Trier:} &\quad \frac{100 - 20}{10} = \frac{80}{10} = 8 \\ \text{Koblenz:} &\quad \frac{100 - 40}{10} = \frac{60}{10} = 6 \\ \text{Neustadt:} &\quad \frac{100 - 60}{10} = \frac{40}{10} = 4 \end{aligned}

Schritt 5 Die Worturteile in Punkte übersetzen

Urteil Punkte kommt vor bei
nicht erfüllt 0
sehr schlecht 1
schlecht 2
ziemlich schlecht 3
mangelhaft 4
genügend 5
befriedigend 6 Neustadt: Kaufkraft
ziemlich gut 7
gut 8 Koblenz: Kaufkraft und Einzugsgebiet · Neustadt: Einzugsgebiet
sehr gut 9 Trier: Kaufkraft und Einzugsgebiet
ausgezeichnet 10

Schritt 6 Die Punktetabelle zusammenstellen

Kriterium Trier Koblenz Neustadt Herkunft
Mietkosten 4 2 8 Schritt 3
Kaufkraft 9 8 6 Schritt 5
Einzugsgebiet 9 8 8 Schritt 5
Autobahnanschluss 8 6 4 Schritt 4
Summe ohne Gewichte — nicht gefragt 30 24 26 nur zur Warnung

a) Die gewichteten Teilnutzen

jede Punktzahl mal das Gewicht ihres Kriteriums

Schritt 7 Die Formel für den Teilnutzen

Gewichteter Teilnutzen = Gewicht als Dezimalzahl mal Punkte
TN=g⋅PTN = g \cdot P
TNTrier, Miete=0,20⋅4=0,80TN_{\text{Trier, Miete}} = 0{,}20 \cdot 4 = 0{,}80
Obergrenze je Kriterium: Gewicht mal die beste Punktzahl 10
0,20⋅10=2,000,15⋅10=1,500,15⋅10=1,500,50⋅10=5,000{,}20 \cdot 10 = 2{,}00 \qquad 0{,}15 \cdot 10 = 1{,}50 \qquad 0{,}15 \cdot 10 = 1{,}50 \qquad 0{,}50 \cdot 10 = 5{,}00

Schritt 8 Alle zwölf Teilnutzen ausrechnen

Kriterium Gewicht gg Trier: g⋅Pg \cdot P Koblenz: g⋅Pg \cdot P Neustadt: g⋅Pg \cdot P
Mietkosten 0,20 0,20 · 4 = 0,80 0,20 · 2 = 0,40 0,20 · 8 = 1,60
Kaufkraft 0,15 0,15 · 9 = 1,35 0,15 · 8 = 1,20 0,15 · 6 = 0,90
Einzugsgebiet 0,15 0,15 · 9 = 1,35 0,15 · 8 = 1,20 0,15 · 8 = 1,20
Autobahnanschluss 0,50 0,50 · 8 = 4,00 0,50 · 6 = 3,00 0,50 · 4 = 2,00

Damit ist Teilaufgabe a) beantwortet.

b) Nutzwert und Empfehlung

je Standort eine Zahl, dann vergleichen

Schritt 9 Die Teilnutzen zum Nutzwert addieren

Nutzwert = Summe der vier gewichteten Teilnutzen eines Standorts
NW=TNMiete+TNKaufkraft+TNEinzugsgebiet+TNAutobahnNW = TN_{\text{Miete}} + TN_{\text{Kaufkraft}} + TN_{\text{Einzugsgebiet}} + TN_{\text{Autobahn}}
NWTrier=0,80+1,35+1,35+4,00=7,50NWKoblenz=0,40+1,20+1,20+3,00=5,80NWNeustadt=1,60+0,90+1,20+2,00=5,70\begin{aligned} NW_{\text{Trier}} &= 0{,}80 + 1{,}35 + 1{,}35 + 4{,}00 = 7{,}50 \\ NW_{\text{Koblenz}} &= 0{,}40 + 1{,}20 + 1{,}20 + 3{,}00 = 5{,}80 \\ NW_{\text{Neustadt}} &= 1{,}60 + 0{,}90 + 1{,}20 + 2{,}00 = 5{,}70 \end{aligned}
Rang Standort Nutzwert Probe: liegt zwischen kleinster und größter Punktzahl
1 Trier 7,50 4 ≤ 7,50 ≤ 9 ✓
2 Koblenz 5,80 2 ≤ 5,80 ≤ 8 ✓
3 Neustadt a. d. W. 5,70 4 ≤ 5,70 ≤ 8 ✓

Schritt 10 Die Zielerfüllung in Prozent

Größtmöglicher Nutzwert: 10 Punkte in jedem Kriterium
NWmax⁡=0,20⋅10+0,15⋅10+0,15⋅10+0,50⋅10=2,00+1,50+1,50+5,00=10,00\begin{aligned} NW_{\max} &= 0{,}20 \cdot 10 + 0{,}15 \cdot 10 + 0{,}15 \cdot 10 + 0{,}50 \cdot 10 \\ &= 2{,}00 + 1{,}50 + 1{,}50 + 5{,}00 = 10{,}00 \end{aligned}
Zielerfüllung = erreichter Nutzwert geteilt durch den größtmöglichen, mal 100 %
Zielerfu¨llung=NWNWmax⁡⋅100 %\text{Zielerfüllung} = \frac{NW}{NW_{\max}} \cdot 100\,\%
Trier:7,5010,00⋅100 %=0,75⋅100 %=75 %Koblenz:5,8010,00⋅100 %=0,58⋅100 %=58 %Neustadt:5,7010,00⋅100 %=0,57⋅100 %=57 %\begin{aligned} \text{Trier:} &\quad \frac{7{,}50}{10{,}00} \cdot 100\,\% = 0{,}75 \cdot 100\,\% = 75\,\% \\ \text{Koblenz:} &\quad \frac{5{,}80}{10{,}00} \cdot 100\,\% = 0{,}58 \cdot 100\,\% = 58\,\% \\ \text{Neustadt:} &\quad \frac{5{,}70}{10{,}00} \cdot 100\,\% = 0{,}57 \cdot 100\,\% = 57\,\% \end{aligned}

Schritt 11 Woher Triers Vorsprung kommt

Kriterium Punkte Trier − Neustadt mal Gewicht Teilnutzen Trier − Neustadt
Mietkosten 4 − 8 = −4 · 0,20 −0,80
Kaufkraft 9 − 6 = +3 · 0,15 +0,45
Einzugsgebiet 9 − 8 = +1 · 0,15 +0,15
Autobahnanschluss 8 − 4 = +4 · 0,50 +2,00
Vorsprung zusammen +1,80
Probe: Die Differenzen ergeben zusammen den Abstand der Nutzwerte
−0,80+0,45+0,15+2,00=1,80=7,50−5,70-0{,}80 + 0{,}45 + 0{,}15 + 2{,}00 = 1{,}80 = 7{,}50 - 5{,}70

Wie sicher ist die Empfehlung?

Ergänzung: nicht in der Musterlösung und in der Klausur nicht verlangt

Schritt 12 Trier gegen Koblenz: überall besser

Kriterium Trier Koblenz Vergleich Neustadt Vergleich mit Trier
Mietkosten 4 2 Trier besser 8 Neustadt besser
Kaufkraft 9 8 Trier besser 6 Trier besser
Einzugsgebiet 9 8 Trier besser 8 Trier besser
Autobahnanschluss 8 6 Trier besser 4 Trier besser
Befund Trier dominiert Koblenz keine Dominanz

Schritt 13 Koblenz und Neustadt liegen fast gleichauf

Abstand zwischen Rang 2 und Rang 3
5,80−5,70=0,105{,}80 - 5{,}70 = 0{,}10
Gedankenspiel: Neustadts Kaufkraft eine Stufe besser, „ziemlich gut“ = 7 statt 6
TNKaufkraft=0,15⋅7=1,05TN_{\text{Kaufkraft}} = 0{,}15 \cdot 7 = 1{,}05
NWNeustadt=1,60+1,05+1,20+2,00=5,85  >  5,80=NWKoblenzNW_{\text{Neustadt}} = 1{,}60 + 1{,}05 + 1{,}20 + 2{,}00 = 5{,}85 \;>\; 5{,}80 = NW_{\text{Koblenz}}

Schritt 14 Wie stark Trier am Gewicht von 50 % hängt

Vertiefung. Dieser Schritt geht über die Aufgabe hinaus. Er rechnet mit einer Unbekannten aa und ist für die Klausur nicht nötig.

Annahme: Autobahngewicht aa; das Restgewicht 1−a1 - a wird im alten Verhältnis 20 : 15 : 15 verteilt, also zu 40 %, 30 %, 30 %. MM = gewichteter Mittelwert der drei übrigen Kriterien
MTrier=0,4⋅4+0,3⋅9+0,3⋅9=1,6+2,7+2,7=7,0MKoblenz=0,4⋅2+0,3⋅8+0,3⋅8=0,8+2,4+2,4=5,6MNeustadt=0,4⋅8+0,3⋅6+0,3⋅8=3,2+1,8+2,4=7,4\begin{aligned} M_{\text{Trier}} &= 0{,}4 \cdot 4 + 0{,}3 \cdot 9 + 0{,}3 \cdot 9 = 1{,}6 + 2{,}7 + 2{,}7 = 7{,}0 \\ M_{\text{Koblenz}} &= 0{,}4 \cdot 2 + 0{,}3 \cdot 8 + 0{,}3 \cdot 8 = 0{,}8 + 2{,}4 + 2{,}4 = 5{,}6 \\ M_{\text{Neustadt}} &= 0{,}4 \cdot 8 + 0{,}3 \cdot 6 + 0{,}3 \cdot 8 = 3{,}2 + 1{,}8 + 2{,}4 = 7{,}4 \end{aligned}
Nutzwert in Abhängigkeit von aa: MM mal Restgewicht (1−a)(1 - a) plus Autobahnpunkte mal aa
NW(a)=M⋅(1−a)+PAutobahn⋅aNW(a) = M \cdot (1 - a) + P_{\text{Autobahn}} \cdot a
NWTrier(a)=7,0⋅(1−a)+8⋅a=7,0−7,0a+8a=7,0+1,0aNWKoblenz(a)=5,6⋅(1−a)+6⋅a=5,6−5,6a+6a=5,6+0,4aNWNeustadt(a)=7,4⋅(1−a)+4⋅a=7,4−7,4a+4a=7,4−3,4a\begin{aligned} NW_{\text{Trier}}(a) &= 7{,}0 \cdot (1 - a) + 8 \cdot a = 7{,}0 - 7{,}0a + 8a = 7{,}0 + 1{,}0a \\ NW_{\text{Koblenz}}(a) &= 5{,}6 \cdot (1 - a) + 6 \cdot a = 5{,}6 - 5{,}6a + 6a = 5{,}6 + 0{,}4a \\ NW_{\text{Neustadt}}(a) &= 7{,}4 \cdot (1 - a) + 4 \cdot a = 7{,}4 - 7{,}4a + 4a = 7{,}4 - 3{,}4a \end{aligned}
Ab welchem Gewicht holt Neustadt Trier ein? Beide gleichsetzen und Zeile für Zeile umstellen
7,0+1,0a=7,4−3,4a∣+3,4a7,0+4,4a=7,4∣−7,04,4a=0,4∣:4,4a=0,44,4≈0,091=9,1 %\begin{aligned} 7{,}0 + 1{,}0a &= 7{,}4 - 3{,}4a &&\mid +3{,}4a \\ 7{,}0 + 4{,}4a &= 7{,}4 &&\mid -7{,}0 \\ 4{,}4a &= 0{,}4 &&\mid :4{,}4 \\ a &= \tfrac{0{,}4}{4{,}4} \approx 0{,}091 = 9{,}1\,\% \end{aligned}
Autobahngewicht aa Trier Koblenz Neustadt Rang 1
50 % (wie in der Aufgabe) 7,50 5,80 5,70 Trier
25 % 7,25 5,70 6,55 Trier
9,1 % 7,09 5,64 7,09 Gleichstand
0 % 7,00 5,60 7,40 Neustadt
Gegenbeispiel ohne die Annahme: Das Gewicht wandert nur zur Miete. Miete 42,5 %, Kaufkraft 15 %, Einzugsgebiet 15 %, Autobahn 27,5 %
NWTrier=0,425⋅4+0,15⋅9+0,15⋅9+0,275⋅8=1,70+1,35+1,35+2,20=6,60NWNeustadt=0,425⋅8+0,15⋅6+0,15⋅8+0,275⋅4=3,40+0,90+1,20+1,10=6,60\begin{aligned} NW_{\text{Trier}} &= 0{,}425 \cdot 4 + 0{,}15 \cdot 9 + 0{,}15 \cdot 9 + 0{,}275 \cdot 8 = 1{,}70 + 1{,}35 + 1{,}35 + 2{,}20 = 6{,}60 \\ NW_{\text{Neustadt}} &= 0{,}425 \cdot 8 + 0{,}15 \cdot 6 + 0{,}15 \cdot 8 + 0{,}275 \cdot 4 = 3{,}40 + 0{,}90 + 1{,}20 + 1{,}10 = 6{,}60 \end{aligned}

Schritt 15 Die Begründung der Musterlösung prüfen

Satz der Musterlösung zu b) Prüfung
„Empfohlen wird der Standort Trier.“ stimmt: höchster Nutzwert, 7,50
„Dieser erfüllt zu 75 % die Anforderungen des Managements.“ stimmt: 7,50 : 10,00 = 75 %
„Die beiden anderen Standorte kommen nicht in Frage.“ zu stark: Die Aufgabe nennt keine Mindestpunktzahl, ab der ein Standort ausscheidet
„Sie erfüllen zu wenig Anforderungskriterien.“ passt nicht zur Methode: Keine der zwölf Punktzahlen ist 0. Gezählt werden keine Kriterien, addiert werden gewichtete Teilnutzen
besser: Trier hat den höchsten Nutzwert und ist in allen vier Kriterien besser als Koblenz trägt: Schritte 9 und 12

Schritt 16 Ergebnis

✓a) Gewichtete Teilnutzen (Miete · Kaufkraft · Einzugsgebiet · Autobahn): Trier 0,80 · 1,35 · 1,35 · 4,00, Koblenz 0,40 · 1,20 · 1,20 · 3,00, Neustadt a. d. W. 1,60 · 0,90 · 1,20 · 2,00
✓Nutzwerte: Trier 7,50, Koblenz 5,80, Neustadt 5,70; Zielerfüllung 75 %, 58 %, 57 %
✓b) Empfohlen wird Trier: höchster Nutzwert, und in jedem Kriterium besser als Koblenz

Trier erfüllt 75 % dessen, was ein idealer Standort erreichen könnte. Den Ausschlag gibt der Autobahnanschluss: Er wiegt 50 % und bringt Trier allein 4,00 der 7,50.