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LAG · Übungsblatt 1 · Aufgabe 1

Zwei Geraden zeichnen und schneiden

Eine Gerade in der Ebene lässt sich auf zwei Arten aufschreiben: mit einem Startpunkt und einer Richtung (Parameterdarstellung) oder mit einer Gleichung in xx und yy (Koordinatengleichung). Hier sind zwei Geraden in der ersten Form gegeben. Wir zeichnen sie, schreiben sie in der zweiten Form auf und bestimmen ihren gemeinsamen Punkt auf beiden Wegen. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Gegeben seien zwei Geraden g1g_1 und g2g_2 in der Ebene des R2\mathbb{R}^2. Die Parameterdarstellungen lauten:

g1: (xy)=(22)+λ(2−1)g_1:\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}
g2: (xy)=(12)+μ(−11)mit λ,μ∈R.g_2:\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
  1. Zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.
  2. Geben Sie jeweils die Koordinatengleichungen der Geraden an.
  3. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Geraden in beiden Darstellungsarten.

Gegeben sind zwei Geraden g1g_1 und g2g_2 in der Ebene. Jede ist durch einen Startpunkt und eine Richtung beschrieben. Ein Punkt der Ebene hat zwei Zahlen: xx (nach rechts) und yy (nach oben). Die Zahlen λ\lambda und μ\mu sind Stellschrauben, die jeden Punkt der Geraden einmal erreichen. „λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R}“ heißt: λ\lambda und μ\mu dürfen jede reelle Zahl sein, auch negative und Brüche. R2\mathbb{R}^2 ist die Ebene aller Zahlenpaare (x,y)(x, y).

Gesucht sind drei Dinge: eine Zeichnung, zu jeder Geraden eine Gleichung nur in xx und yy, und der Punkt SS, in dem sich die Geraden schneiden. Für SS rechnen wir den Weg zweimal, so kann man das Ergebnis selbst überprüfen.

Merke: Eine Gerade ist durch einen Punkt auf ihr (den Aufpunkt) und eine Richtung (den Richtungsvektor) festgelegt. Der Schnittpunkt zweier Geraden liegt auf beiden zugleich.

So gehen wir vor:

  1. Teil a): Aufpunkt und Richtungsvektor erklären, beide Geraden zeichnen.
  2. Teil b): aus der Parameterdarstellung den Parameter entfernen, so entsteht die Koordinatengleichung.
  3. Teil c): den Schnittpunkt aus der Parameterdarstellung bestimmen (Gleichsetzen).
  4. Teil c): den Schnittpunkt noch einmal aus den Koordinatengleichungen bestimmen und die beiden Ergebnisse vergleichen.

Aufpunkt und Richtungsvektor erkennen

Allgemeine Form: Aufpunkt P plus λ mal Richtungsvektor v
(xy)=P+λ v\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = P + \lambda\, v
Für g₁ abgelesen
(22)⏟P1+λ(2−1)⏟v1\underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}}_{P_1} + \lambda \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}}_{v_1}
Für g₂ abgelesen
(12)⏟P2+μ(−11)⏟v2\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{P_2} + \mu \underbrace{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{v_2}

Eine Parameterdarstellung hat die Form „Startpunkt plus Zahl mal Richtung“. Der Aufpunkt ist der Startpunkt, also der Punkt, den wir für λ=0\lambda = 0 bekommen. Der Richtungsvektor ist der Pfeil, der angibt, wohin die Gerade läuft: Seine obere Zahl ist der Weg nach rechts, die untere der Weg nach oben (negativ heißt nach unten).

Bei g1g_1 ist der Aufpunkt P1=(2,2)P_1 = (2, 2) und der Richtungsvektor v1=(2,−1)v_1 = (2, -1): zwei Einheiten nach rechts, eine nach unten. Bei g2g_2 lesen wir P2=(1,2)P_2 = (1, 2) und v2=(−1,1)v_2 = (-1, 1) ab: eine Einheit nach links, eine nach oben.

Der Parameter λ\lambda sagt, wie oft wir den Pfeil v1v_1 von P1P_1 aus anlegen. Für λ=2\lambda = 2 ist es der doppelte Pfeil, für λ=−1\lambda = -1 der Pfeil in die Gegenrichtung.

g₁ zeichnen

Punkte von g₁ für einige Werte von λ
λPunkt−1(2−2, 2+1)=(0,3)0(2,2)1(2+2, 2−1)=(4,1)2(2+4, 2−2)=(6,0)\begin{array}{c|c} \lambda & \text{Punkt} \\ \hline -1 & (2 - 2,\ 2 + 1) = (0, 3) \\ 0 & (2, 2) \\ 1 & (2 + 2,\ 2 - 1) = (4, 1) \\ 2 & (2 + 4,\ 2 - 2) = (6, 0) \end{array}

Aufpunkt eintragen, Pfeil v1v_1 anlegen, Gerade durch die Punkte ziehen.

Wir tragen zuerst den Aufpunkt P1=(2,2)P_1 = (2, 2) ein. Von dort zeichnen wir den Richtungsvektor als Pfeil: Seine Spitze liegt bei (2+2, 2−1)=(4,1)(2 + 2,\ 2 - 1) = (4, 1). Die Gerade ist die unendlich lange Linie durch beide Punkte.

Zur Kontrolle setzen wir andere Werte für λ\lambda ein. Mit λ=−1\lambda = -1 (ein Pfeil rückwärts) landen wir bei (0,3)(0, 3), mit λ=2\lambda = 2 bei (6,0)(6, 0). Alle diese Punkte liegen auf der gezeichneten Linie.

Noch 9 Schritte bis zum Ergebnis
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Die Ebene mit g₁ und g₂

alles ist von Anfang an eingezeichnet

Abbildung 1Die Ebene mit g₁ und g₂

alles ist von Anfang an eingezeichnet

g₁g₂v₁v₂P₁P₂S
Legendein diesem Schritt gemeintg₁ und g₂ mit ihren Aufpunkten P₁, P₂, den Richtungsvektoren v₁, v₂ und dem Schnittpunkt S.