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LAG · Übungsblatt 1 · Aufgabe 3

Geraden in der Ebene: Ursprung und Parallelität erkennen

Drei Fragen zu Geraden in der Ebene: Wie erkennt man an der Gleichung, dass sie durch den Ursprung geht, und wie erkennt man, dass zwei Geraden parallel sind? Die Antwort zu a) ist etwas feiner, als sie zuerst scheint. Bei c) muss man auch senkrechte Geraden bedenken. Rechts steht die Zeichnung, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

3. Aufgabe

a) Woran erkennt man an der Parametergleichung einer Geraden im R2\mathbb{R}^2, dass die Gerade durch den Koordinatenursprung geht?

b) Woran erkennt man an der Koordinatengleichung einer Geraden im R2\mathbb{R}^2, dass die Gerade durch den Koordinatenursprung geht?

c) Woran erkennt man an den Koordinatengleichungen von Geraden im R2\mathbb{R}^2, dass die Geraden parallel sind?

Eine Gerade im R2\mathbb{R}^2 ist eine gerade Linie in der Ebene. Man kann sie auf zwei Arten aufschreiben: als Parametergleichung x⃗=p⃗+λv⃗\vec x = \vec p + \lambda\vec v (Punkt plus Richtung; Teil a) oder als Koordinatengleichung ax+by=cax + by = c (Bedingung an xx und yy; Teile b und c). Gefragt ist jedes Mal nach einer Eigenschaft, die man an der Gleichung ablesen kann, ohne lange zu rechnen.

Merke: Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten die Gleichung der Geraden erfüllen. Das ist der Schlüssel zu a) und b).
  1. Teil a): Ursprung bei der Parametergleichung. Ergebnis: der Aufpunkt ist ein Vielfaches des Richtungsvektors.
  2. Teil b): Ursprung bei der Koordinatengleichung. Ergebnis: die rechte Seite ist 0.
  3. Teil c): parallele Geraden. Ergebnis: die Koeffizienten vor xx und yy sind Vielfache voneinander.

Aufpunkt und Richtungsvektor

Parametergleichung von g₁ (Aufpunkt p₁, Richtungsvektor v)
g1:x⃗=(21)⏟p⃗1+λ(42)⏟v⃗,λ∈Rg_1:\quad \vec x = \underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}_{\vec p_1} + \lambda \underbrace{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}_{\vec v}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Eine Parametergleichung beschreibt eine Gerade so: Man startet an einem festen Punkt und geht dann beliebig weit in eine feste Richtung. Der Startpunkt heißt Aufpunkt p⃗\vec p. Die Richtung gibt der Richtungsvektor v⃗\vec v an; er ist nicht der Nullvektor. Die Zahl λ\lambda (lies „Lambda“) sagt, wie weit man geht. Sie darf jede reelle Zahl sein, auch negativ: dann geht man rückwärts.

Jedes λ\lambda liefert genau einen Punkt der Geraden. Als Beispiel nehmen wir die Gerade g1g_1 aus der Zeichnung.

Die Frage umformulieren

O liegt auf g genau dann, wenn …
0⃗=p⃗+λ v⃗hat eine Lo¨sung λ∈R\vec 0 = \vec p + \lambda\,\vec v \quad \text{hat eine Lösung } \lambda \in \mathbb{R}

Der Ursprung ist der Punkt O=(0,0)O = (0, 0), als Vektor der Nullvektor 0⃗\vec 0. Er liegt auf der Geraden, wenn es mindestens ein λ\lambda gibt, für das der Punkt der Geraden der Ursprung ist.

Das ist die Frage, die wir beantworten: Für welche Wahl von p⃗\vec p und v⃗\vec v gibt es so ein λ\lambda?

Noch 15 Schritte bis zum Ergebnis
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Geraden g₁ und g₂

Aufpunkt p und Richtung v

Abbildung 1Geraden g₁ und g₂

Aufpunkt p und Richtung v

g₁g₂v = (4, 2)p₁ = (2, 1)p₂ = (2, 0)O
LegendeParametergleichungen von Geraden.