Gerade und Ebene im Raum: Schnittpunkt

Die Aufgabe

Gegeben seien eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ im $\mathbb{R}^3$ . Die Parameterdarstellungen lauten:

g: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

E: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

a) Schneiden sich die Gerade $g$ und die Ebene $E$ oder sind sie parallel? Können Sie die Frage auch ohne größere Rechnung beantworten?

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ oder den Abstand $a$ je nach Ergebnis aus a).

Der Raum $\mathbb{R}^3$ besteht aus allen Punkten mit drei Koordinaten $(x, y, z)$ . Wir schreiben einen Punkt als Spalte. Eine Gerade und eine Ebene werden hier in Parameterform angegeben:

Die Gerade $g$ besteht aus einem Aufpunkt (ein fester Punkt, von dem man startet) und einem Richtungsvektor. Den Richtungsvektor darf man mit jeder Zahl $\lambda$ malnehmen: So läuft man auf der Geraden vor und zurück.
Die Ebene $E$ besteht aus einem Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren, jeder mit eigener Zahl $\mu_1$ bzw. $\mu_2$ . So kann man sich in zwei Richtungen frei bewegen und überstreicht eine Fläche.

Gefragt ist: Haben $g$ und $E$ einen gemeinsamen Punkt (sie schneiden sich), oder laufen sie parallel, ohne sich je zu treffen? Dazu die Frage, ob man das ohne größere Rechnung sehen kann. Bei b) ist der Schnittpunkt $S$ gesucht. Der Abstand $a$ wäre nur bei parallelen Objekten gefragt.

Merke: Ein Punkt von

g

(

P

ist der Aufpunkt,

d

die Richtung) hat die Form

P + \lambda\, d

, ein Punkt von

E

(

Q

ist der Aufpunkt,

u

und

v

die Richtungen) die Form

Q + \mu_1 u + \mu_2 v

. Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der beide Formen zugleich hat.

a) Prüfen, ob die Richtung der Geraden in der Ebene liegt. Wenn nicht, sind sie nicht parallel.
b) Gerade und Ebene gleichsetzen, das Gleichungssystem lösen, den Punkt ausrechnen und die Probe machen.

Die Frage auf die Richtung zurückführen

Die Aufpunkte und Richtungsvektoren aus der Aufgabe, mit Namen: Aufpunkt von $g$ ist $P$ , Aufpunkt von $E$ ist $Q$ .

Aufpunkte P und Q

P = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Richtung d der Geraden g und die zwei Richtungen u, v der Ebene E

d = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad u = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Frage: Gibt es Zahlen $a$ und $b$ mit $d = a\,u + b\,v$ ?

Parallel heißt: Die Gerade läuft in der Ebene oder neben ihr her, sie durchstößt sie nie. Das hängt nur von der Richtung der Geraden ab, nicht vom Aufpunkt. Man kann sich in der Ebene genau in die Richtungen bewegen, die aus den zwei Ebenen-Richtungen $u$ und $v$ zusammengesetzt sind. Läuft $g$ in so einer Richtung, bleibt sie parallel zur Ebene. Zeigt $g$ in eine andere Richtung, steht sie schräg zur Ebene und muss sie irgendwo durchstoßen.

Merke:

g

ist parallel zu

E

, wenn

d

eine Linearkombination von

u

und

v

ist, also

d = a\,u + b\,v

mit passenden Zahlen

a

und

b

Mit anderen Worten: Die drei Vektoren $u$ , $v$ , $d$ sind dann linear abhängig, denn einer lässt sich aus den anderen zusammenbauen. Sind sie linear unabhängig, lässt sich keiner aus den anderen bauen. Genau das ist die „Antwort ohne größere Rechnung“: Wir müssen nur diese eine Frage klären, das Gleichungssystem für den Schnittpunkt brauchen wir dafür nicht.

Ist d aus u und v zusammensetzbar?

a·u + b·v = d, Zeile für Zeile

a \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} -a = 1 & \text{(1. Zeile)} \\ a + b = 2 & \text{(2. Zeile)} \\ -a + b = 0 & \text{(3. Zeile)} \end{cases}

Aus Zeile 1 und 3 folgt, was Zeile 2 sein müsste

a = -1, \qquad b = a = -1, \qquad a + b = -2 \neq 2

Die drei Gleichungen widersprechen sich: $d$ ist nicht aus $u$ und $v$ zusammensetzbar.

Wir setzen $a\,u + b\,v$ ein und vergleichen mit $d$ Zeile für Zeile. Jede Zeile ist eine Gleichung. Die erste und die dritte Zeile bestimmen $a$ und $b$ sofort, die zweite Zeile ist dann die Probe.

Erste Zeile: $u$ hat dort $-1$ , $v$ hat $0$ . Also muss $-a = 1$ gelten, das heißt $a = -1$ .
Dritte Zeile: $-a + b = 0$ . Mit $a = -1$ folgt $1 + b = 0$ , also $b = -1$ .
Zweite Zeile: Dort würde $a + b = -1 + (-1) = -2$ stehen, aber $d$ hat dort $2$ . Das passt nicht.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Frage auf die Richtung zurückführen

Schritt 2Ist d aus u und v zusammensetzbar?