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LAG · Übungsblatt 2 · Aufgabe 1

Vektorraum-Axiome an 2×2-Matrizen prüfen

Ein Vektorraum ist eine Menge, in der man addieren und mit Zahlen malnehmen darf, und zwar nach festen Regeln. Diese Regeln heißen Axiome. Hier listen wir zuerst alle Axiome auf. Dann prüfen wir sie für 2×2-Matrizen mit einer ungewöhnlichen Addition und Multiplikation. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Sei MM die Menge aller reellen 2×22 \times 2-Matrizen. Seien A,B∈MA, B \in M.

A=(a11a12a21a22),B=(b11b12b21b22).A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}.

Reell bedeutet dabei, dass aij,bij∈Ra_{ij}, b_{ij} \in \mathbb{R}, i, j=1,2. Auf der Menge MM werde nun die folgende Addition

A⊕B=(a11+b11a12−b12a21−b21a22+b22)A \oplus B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix}

und die Skalarmultiplikation (Zahlenkörper R\mathbb{R}, λ∈R\lambda \in \mathbb{R}) definiert

λ⊗A=(λa11a12a21λa22).\lambda \otimes A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}.

a) Listen Sie alle Axiome auf, die ein Vektorraum VV erfüllen muss.
Hinweis: Abelsche Gruppe, Körper und skalare Multiplikation.

b) Bildet die Menge MM mit der definierten Addition ⊕\oplus und Skalarmultiplikation ⊗\otimes einen reellen Vektorraum? Überprüfen Sie die Vektorraumaxiome und begründen Sie Ihre Antwort!

Gegeben sind alle 2×2-Matrizen mit reellen Einträgen. Eine 2×2-Matrix ist ein Zahlenschema mit 2 Zeilen und 2 Spalten. Der Eintrag aija_{ij} steht in Zeile ii und Spalte jj. So steht a12a_{12} oben rechts. „Reell“ heißt: Alle Einträge sind reelle Zahlen, also Zahlen aus R\mathbb{R}.

Neu sind die beiden Rechenarten. ⊕\oplus (lies „o-plus“) addiert die Einträge oben links und unten rechts wie gewohnt. Die beiden anderen Einträge zieht sie aber voneinander ab. ⊗\otimes (lies „o-mal“) multipliziert nur die Einträge oben links und unten rechts mit der Zahl λ\lambda (lies „lambda“). Die beiden anderen bleiben, wie sie sind.

Die Einträge oben links und unten rechts heißen Hauptdiagonale. Die Einträge oben rechts und unten links heißen Nebendiagonale. Alles Ungewohnte passiert also in der Nebendiagonale.

Gesucht ist zweierlei:

  1. a) Alle Axiome, die ein Vektorraum erfüllen muss.
  2. b) Ob die Matrizen mit ⊕\oplus und ⊗\otimes einen Vektorraum bilden. Dazu prüfen wir jedes Axiom und begründen das Urteil.
Merke: Ein Vektorraum muss alle Axiome erfüllen. Ist nur eines verletzt, ist es kein Vektorraum.

Drei Bausteine eines Vektorraums

Skript · Vektorraum

Der Körper KK, genauer geschrieben (K,+,⋅)(K,+,\cdot), und die Abelsche Gruppe (V,+)(V,+) sowie die skalare Multiplikation k⋅ak \cdot a mit k∈Kk \in K und a∈Va \in V bilden einen Vektorraum VV.

Ein Vektorraum besteht aus zwei Mengen. Die eine Menge VV enthält die Vektoren. Das sind die Dinge, die man addiert. Hier sind es Matrizen. Die andere Menge KK enthält die Skalare. Das sind die Zahlen, mit denen man Vektoren malnimmt. Hier ist es R\mathbb{R}.

Der Hinweis der Aufgabe nennt die drei Bausteine. Für jeden gibt es eigene Axiome. Die nächsten drei Schritte listen sie auf, wie im Skript in Tabelle 2.1.1.

Zwei Zeichen kommen oft vor: ∈\in heißt „ist Element von“, ⇒\Rightarrow heißt „daraus folgt“.

Der Körper K

Körperaxiome für (K, +, ·)
K1: (K,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0\text{K1: } (K, +) \text{ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element } 0
K2: (K∖{0},⋅) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1\text{K2: } (K \setminus \{0\}, \cdot) \text{ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element } 1
K3: λ⋅(μ+ν)=λ⋅μ+λ⋅ν(Distributivgesetz)\text{K3: } \lambda \cdot (\mu + \nu) = \lambda \cdot \mu + \lambda \cdot \nu \quad \text{(Distributivgesetz)}

Ein Körper ist eine Zahlenmenge, in der man wie gewohnt rechnen darf: addieren, abziehen, malnehmen und durch jede Zahl außer 0 teilen. Genauer sind es die drei Bedingungen K1 bis K3 rechts.

Eine abelsche Gruppe ist eine Menge mit einer Rechenart. Diese Rechenart führt nicht aus der Menge heraus, Klammern und Reihenfolge sind egal, es gibt ein neutrales Element, und jedes Element hat ein Gegenstück. „Abelsch“ heißt: Die Reihenfolge ist egal. Die genaue Liste G1 bis G5 steht im nächsten Schritt.

Ein neutrales Element ändert beim Verknüpfen nichts: beim Addieren die 0 (5+0=55 + 0 = 5), beim Malnehmen die 1 (5⋅1=55 \cdot 1 = 5). Das Distributivgesetz ist die Regel zum Ausmultiplizieren, etwa 2⋅(3+4)=2⋅3+2⋅42 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4. K∖{0}K \setminus \{0\} ist KK ohne die 0.

Die Skalare λ\lambda, μ\mu und ν\nu (lies „lambda“, „mü“, „nü“) stammen aus diesem Körper. Sie stehen für beliebige Zahlen aus KK.

Noch 14 Schritte bis zum Ergebnis
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Die Axiome

für M mit ⊕ und ⊗

Abbildung 1Die Axiome

für M mit ⊕ und ⊗

Die neuen Rechenarten: Hauptdiagonale wie gewohnt, Nebendiagonale anders
A⊕B=(a11+b11a12−b12a21−b21a22+b22)A \oplus B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix}
λ⊗A=(λa11a12a21λa22)\lambda \otimes A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}
Körper der Skalare: ℝ
  • Kℝ mit + und · ist ein Körpererfüllt
Abelsche Gruppe (M, ⊕)
  • G1Abgeschlossenheiterfüllt
  • G2Assoziativgesetzverletzt
  • G3Neutrales Elementverletzt
  • G4Inverses Elementverletzt
  • G5Kommutativgesetzverletzt
Skalare Multiplikation ⊗
  • S1Assoziativgesetzerfüllt
  • S2Einselementerfüllt
  • S3Distributivgesetz für Skalareerfüllt
  • S4Distributivgesetz für Vektorenverletzt
Legendegerade geprüftAlle Axiome eines Vektorraums und das Urteil für M mit ⊕ und ⊗. Begründet wird jedes Urteil in Teil b).