Der Vektorraum ℤ₃ × ℤ₃: Rechnen mit Resten

Die Aufgabe

Sei $M$ die Menge aller 2-Tupel (Zahlenpaare) $M = \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ . Seien $a, b \in M$ .

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}.

Klar, dass $a_i, b_i \in \mathbb{Z}_3$ gilt. Die Menge $M$ bildet mit der Addition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum $V$ , $\lambda \in \mathbb{Z}_3$ :

a + b = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}, \qquad \lambda \cdot a = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_1 \\ \lambda \cdot a_2 \end{pmatrix}

a) Geben Sie den zugrunde liegenden Zahlenkörper $K$ explizit an.
b) Erklären Sie die Addition und die Multiplikation auf $K$ .

Im Folgenden werden die Elemente betrachtet:

a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

c) Berechnen Sie $a_1 + a_2$ und $2a_1$ .
d) Prüfen Sie folgende Vektorenmengen auf lineare Unabhängigkeit: $\{a_1, a_2\}$ , $\{a_2, a_3\}$ , $\{a_1, a_2, a_3\}$ .

Gegeben ist die Menge $M$ aller Zahlenpaare, deren beiden Zahlen aus $\mathbb{Z}_3$ stammen. Was $\mathbb{Z}_3$ ist, klären wir in Teil a). Die Paare werden komponentenweise addiert und mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert. So wird $M$ zu einem Vektorraum $V$ .

Aus Ü2 A1 („Vektorraum-Axiome an 2×2-Matrizen prüfen“): Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die man addieren und mit Zahlen (Skalaren) aus einem Körper multiplizieren kann. Dabei gelten feste Rechenregeln, die Axiome.

Gesucht ist in vier Teilen:

a) Aus welcher Zahlenmenge kommen die Skalare? Das ist der Körper $K$ .

b) Wie rechnet man in $K$ : wie wird addiert, wie multipliziert?

c) Zwei konkrete Rechnungen mit den Vektoren $a_1$ und $a_2$ .

d) Sind drei Mengen von Vektoren linear unabhängig? Das heißt: Lässt sich kein Vektor der Menge aus den anderen zusammenbauen?

Zur Schreibweise: In der Aufgabe heißen die beiden Zahlen eines Vektors $a$ auch $a_1$ und $a_2$ . Ab Teil c) heißen die drei ganzen Vektoren ebenfalls $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ . In Teil c) und d) ist mit $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ immer ein ganzer Vektor gemeint.

Merke: In

\mathbb{Z}_3

rechnet man wie gewohnt und nimmt am Ende den Rest bei Division durch 3. So bleibt jedes Ergebnis eine der Zahlen 0, 1, 2.

Der Körper steht in der Aufgabe: K = ℤ₃

Skalare und Einträge kommen aus derselben Menge

\lambda \in \mathbb{Z}_3 \quad\Longrightarrow\quad K = \mathbb{Z}_3

Ein Vektorraum braucht zwei Dinge: Vektoren und Skalare. Ein Skalar ist eine einzelne Zahl, mit der man einen Vektor multipliziert, hier $\lambda$ . Die Skalare kommen aus einer Zahlenmenge, die man Körper nennt.

Ein Körper $K$ ist eine Zahlenmenge, in der man addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch jede Zahl außer 0 teilen kann, mit den üblichen Rechenregeln. Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind ein Beispiel.

In der Aufgabe steht $\lambda \in \mathbb{Z}_3$ . Also stammen die Skalare aus $\mathbb{Z}_3$ . Auch die Einträge der Vektoren sind Elemente von $\mathbb{Z}_3$ . Damit ist der Körper bestimmt. Was genau in $\mathbb{Z}_3$ steckt, zeigt der nächste Schritt.

Die Elemente von ℤ₃ aufschreiben

Die Zahlen von 3 bis 6 und ihr Rest bei Division durch 3

\begin{aligned} 3 &= 1 \cdot 3 + 0 &&\Rightarrow\ 3 = 0 \\ 4 &= 1 \cdot 3 + 1 &&\Rightarrow\ 4 = 1 \\ 5 &= 1 \cdot 3 + 2 &&\Rightarrow\ 5 = 2 \\ 6 &= 2 \cdot 3 + 0 &&\Rightarrow\ 6 = 0 \end{aligned}

Antwort auf a)

K = \mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\}

$\mathbb{Z}_3$ sind die Reste bei Division durch 3. Teilt man eine ganze Zahl durch 3, bleibt als Rest 0, 1 oder 2. Einen anderen Rest gibt es nicht. Darum hat $\mathbb{Z}_3$ genau drei Elemente.

Zwei ganze Zahlen mit demselben Rest zählen als dieselbe Zahl in $\mathbb{Z}_3$ . Die 3 hat Rest 0, also ist $3 = 0$ . Die 4 hat Rest 1, also ist $4 = 1$ . In der Grafik ist das ein Kreis: nach der 2 geht es bei der 0 weiter.

Merke: In

\mathbb{Z}_3

ist

3 = 0

. Jede Zahl wird durch ihren Rest bei Division durch 3 ersetzt.

Der Vektorraum ℤ₃ × ℤ₃: Rechnen mit Resten

Die Aufgabe

Der Körper steht in der Aufgabe: K = ℤ₃

Die Elemente von ℤ₃ aufschreiben

Die Zahlen von ℤ₃

Abbildung 1Die Zahlen von ℤ₃

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Der Körper steht in der Aufgabe: K = ℤ₃

Schritt 2Die Elemente von ℤ₃ aufschreiben

Die Zahlen von ℤ₃

Abbildung 1Die Zahlen von ℤ₃

Die Aufgabe

Der Körper steht in der Aufgabe: K = ℤ₃

Die Elemente von ℤ₃ aufschreiben