Dimension, Basis und Komplement eines Unterraums im ℝ³

Die Aufgabe

Die Menge $U \subset \mathbb{R}^3$ mit

U = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \,\middle|\, x, y, z \in \mathbb{R},\ x = y \right\}

bildet einen Untervektorraum von V.

Welche Dimension hat U?
Geben Sie eine Basis von U an.
Ergänzen Sie Ihre Basis von U zu einer Basis von V.
Geben Sie den zu U komplementären Unterraum U_c an.

Gegeben ist die Menge $U$ aller Vektoren $(x, y, z)$ im Raum, bei denen die erste und die zweite Zahl gleich sind, also $x = y$ . Die Aufgabe sagt, dass $U$ ein Unterraum ist: eine Teilmenge, in der man Vektoren addieren und mit Zahlen malnehmen kann, ohne $U$ zu verlassen. Das müssen wir nicht beweisen.

$V$ kommt in der Aufgabe nicht vor. Gemeint ist der ganze Raum, $V = \mathbb{R}^3$ . In der Mengenschreibweise steht „R“ statt $\mathbb{R}$ ; auch das ist gemeint.

Gesucht sind: die Dimension von $U$ , eine Basis von $U$ , eine Basis des ganzen Raums, die diese Basis enthält, und ein Unterraum $U_c$ , der $U$ zum ganzen Raum ergänzt.

Merke: Eine Basis ist eine kleinste Menge von Vektoren, aus denen sich jeder Vektor des Raums auf genau eine Weise zusammensetzen lässt. Die Dimension ist die Zahl dieser Vektoren.

So gehen wir vor:

Teil a): sehen, wie viele Zahlen in U frei wählbar sind. Das ist die Dimension.
Teil b): jeden Vektor aus $U$ aus festen Pfeilen zusammensetzen und prüfen, dass die Pfeile unabhängig sind. Das ist die Basis.
Teil c): einen dritten Pfeil wählen, der nicht in U liegt, und prüfen.
Teil d): eine Gerade angeben, die $U$ zum Raum ergänzt, und das begründen.

Die Vektoren von U aufschreiben

Ersetzen von y durch x

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text{ mit } x = y \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ x \\ z \end{pmatrix}

Ein Vektor $(x, y, z)$ gehört genau dann zu $U$ , wenn seine erste und seine zweite Zahl gleich sind. Die dritte Zahl ist nicht eingeschränkt.

Deshalb können wir ersetzen: Wo $y$ steht, schreiben wir $x$ . Ein Vektor aus $U$ hat also die Form $(x, x, z)$ .

Beispiele: $(1, 1, 0)$ und $(5, 5, -2)$ liegen in $U$ . Der Vektor $(1, 0, 0)$ liegt nicht in $U$ , weil $1 \neq 0$ ist.

Freie Zahlen zählen: Dimension 2

Zwei freie Zahlen

\underbrace{3}_{x,\,y,\,z} - \underbrace{1}_{x = y} = 2

Vorläufig: $\dim U = 2$ . Die Bestätigung durch eine Basis folgt in b).

In $(x, x, z)$ dürfen wir $x$ frei wählen und $z$ frei wählen. Zwei Zahlen sind frei, die zweite Zahl folgt aus $x$ . Der Raum $\mathbb{R}^3$ hat drei freie Zahlen; die eine Bedingung $x = y$ nimmt eine davon weg.

Die Dimension ist die Zahl der Vektoren in einer Basis. Dass hier genau zwei Vektoren reichen und nicht weniger, zeigen wir in Teil b) mit einer Basis. Die Grafik stimmt dazu: $U$ ist eine Ebene, und eine Ebene hat zwei Richtungen.

Dimension, Basis und Komplement eines Unterraums im ℝ³

Die Aufgabe

Die Vektoren von U aufschreiben

Freie Zahlen zählen: Dimension 2

Der Raum mit der Ebene U

Abbildung 1Der Raum mit der Ebene U

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Vektoren von U aufschreiben

Schritt 2Freie Zahlen zählen: Dimension 2

Der Raum mit der Ebene U

Abbildung 1Der Raum mit der Ebene U

Die Aufgabe

Die Vektoren von U aufschreiben

Freie Zahlen zählen: Dimension 2