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LAG · Übungsblatt 3 · Aufgabe 3

Schnitt linearer Hüllen im ℝ³

Eine lineare Hülle sind alle Vektoren, die sich aus ein paar gegebenen Vektoren zusammenbauen lassen. Im R3\mathbb{R}^3 ist das bei zwei Erzeugern eine Ebene oder, wie bei T, eine Gerade durch den Ursprung. Hier sind drei solche Hüllen gegeben, RR, SS und TT. Gesucht ist, welche Vektoren in zwei oder in allen drei Hüllen zugleich liegen. Der Weg ist immer derselbe: Wir setzen die Linearkombinationen der Hüllen gleich und lösen das entstehende Gleichungssystem. Das Ergebnis deuten wir als Bild im Raum. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Gegeben seien die folgenden linearen Hüllen (Span) R,S,TR, S, T im R3\mathbb{R}^3:

R=⟨(110),(101)⟩,S=⟨(100),(101)⟩,T=⟨(0−11),(01−1)⟩.R = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \quad S = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \quad T = \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\rangle.

Berechnen Sie jeweils die folgenden Schnittmengen und geben Sie deren geometrische Interpretation an.

  1. R∩SR \cap S
  2. R∩TR \cap T
  3. S∩TS \cap T
  4. R∩S∩TR \cap S \cap T

Gegeben sind drei lineare Hüllen RR, SS und TT im Raum. Ein Vektor des R3\mathbb{R}^3 ist eine Spalte aus drei reellen Zahlen, ein Punkt im Raum. Gesucht sind vier Schnittmengen: Das sind alle Vektoren, die in beiden (bei d) in allen dreien) Hüllen zugleich liegen. Zu jeder Schnittmenge gehört eine Deutung als geometrisches Gebilde: Punkt, Gerade oder Ebene.

Im Original steht „R,S,T∈R3R, S, T \in \mathbb{R}^3“. Gemeint ist: RR, SS und TT sind Teilmengen (genauer Unterräume) des R3\mathbb{R}^3, keine Vektoren.

Merke: Die lineare Hülle von Vektoren v1,v2v_1, v_2 besteht aus allen Linearkombinationen a v1+b v2a\,v_1 + b\,v_2 mit beliebigen Zahlen aa und bb. Ein Vektor liegt in einer Schnittmenge, wenn er sich in jeder der Hüllen auf diese Weise bauen lässt.

So gehen wir vor:

  1. Vorbereitung: die Begriffe klären und sehen, was für Gebilde R, S und T sind.
  2. Teile a) bis d): zwei Linearkombinationen gleichsetzen, das Gleichungssystem lösen und das Ergebnis als Gebilde im Raum deuten.

Was R, S und T sind

Erzeuger von T: der zweite ist ein Vielfaches des ersten
(01−1)=(−1)⋅(0−11)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
Darum besteht T aus allen Vielfachen eines Vektors
p(0−11)+q(01−1)=(p−q)(0−11)=e(0−11)p \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = (p - q) \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = e \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Dabei ist e=p−qe = p - q eine beliebige Zahl. Wir schreiben ab jetzt T=⟨(0,−1,1)⟩T = \langle (0,-1,1) \rangle.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Eine Linearkombination von Vektoren v1,v2v_1, v_2 ist eine Summe a v1+b v2a\,v_1 + b\,v_2 mit Zahlen a,ba, b. Ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen, sind die beiden linear abhängig.

Die lineare Hülle (englisch Span) ⟨v1,v2⟩\langle v_1, v_2 \rangle ist die Menge aller solchen Linearkombinationen. Für RR heißt das: jeder Vektor a (1,1,0)+b (1,0,1)a\,(1,1,0) + b\,(1,0,1). Die Vektoren v1,v2v_1, v_2 heißen Erzeuger, weil sie die Hülle erzeugen.

Bei RR und SS zeigen die beiden Erzeuger in verschiedene Richtungen. Die Hüllen sind daher Ebenen durch den Ursprung.

Aus Ü1 A2 („Geraden: Parameterform und Schnittpunkt“): Eine Gerade ist Aufpunkt plus Vielfaches eines Richtungsvektors. Bei einer Hülle ist der Aufpunkt der Ursprung.

Bei TT fällt etwas auf: Der zweite Erzeuger ist das (−1)-Fache des ersten. Beide Erzeuger liegen auf derselben Geraden, also ist TT keine Ebene, sondern nur eine Gerade durch den Ursprung.

Das Verfahren für jede Schnittmenge

Allgemein, für zwei Hüllen mit den Erzeugern v₁, v₂ und w₁, w₂
a v1+b v2⏟Vektor aus der ersten Hu¨lle=c w1+d w2⏟Vektor aus der zweiten Hu¨lle\underbrace{a\,v_1 + b\,v_2}_{\text{Vektor aus der ersten Hülle}} = \underbrace{c\,w_1 + d\,w_2}_{\text{Vektor aus der zweiten Hülle}}

Die konkreten Zahlen setzen wir in Teil a) ein.

Ein Vektor xx liegt in R∩SR \cap S, wenn er in RR und in SS liegt. Also gibt es Zahlen a,ba, b, mit denen man xx aus den Erzeugern von RR baut, und Zahlen c,dc, d, mit denen man xx aus den Erzeugern von SS baut. Eine solche Summe aus Erzeugern mal Zahlen heißt Linearkombination. Beide Linearkombinationen ergeben denselben Vektor, also setzen wir sie gleich.

Ein Vektor ist nur dann gleich einem anderen, wenn alle drei Zeilen gleich sind. Das ergibt drei Gleichungen für die Unbekannten a,b,c,da, b, c, d. Dieses lineare Gleichungssystem (LGS) lösen wir. Danach setzen wir die Lösung in eine der beiden Linearkombinationen ein und erhalten die Vektoren der Schnittmenge.

Der Ursprung (der Nullvektor) liegt in jeder linearen Hülle: Alle Zahlen gleich 0 ergibt ihn. Die Schnittmenge ist deshalb nie leer. Im Bild ist der Ursprung der Punkt, in dem sich alle drei Gebilde kreuzen.

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Der Raum mit R, S und T

alles ist von Anfang an eingezeichnet

Abbildung 1Der Raum mit R, S und T

alles ist von Anfang an eingezeichnet

RSR ∩ ST0
Legendeim aktuellen Schritt gemeintDie Ebenen R und S (nur ein Ausschnitt gezeichnet, sie reichen unendlich weit), die Gerade T, die Schnittgerade R ∩ S und der Ursprung 0.