Rang einer 2×3-Matrix, Spaltenabhängigkeit und neue Zeilen

Die Aufgabe

Gegeben sei die Matrix

M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}.

a) Berechnen Sie den Rang der Matrix $M$ .

b) Der Rang( $M$ ) ist offensichtlich maximal 2. Daraus folgt die lineare Abhängigkeit der Spalten von $M$ . Berechnen Sie die lineare Abhängigkeit der Spalten von $M$ .

c) Wie ändert sich der Rang( $M$ ), wenn jeweils eine der Zeilen

i) $(-17, -20, -22)$
ii) $(-17, -20, -21)$

hinzugefügt wird?

Gegeben ist eine Matrix $M$ mit zwei Zeilen und drei Spalten. Das sind sechs Zahlen, in Zeilen und Spalten angeordnet. Zu $M$ gibt es drei Fragen:

a) Wie groß ist der Rang von $M$ ?
b) Die drei Spalten von $M$ sind linear abhängig. Das heißt: Man kann sie mit passenden Zahlen malnehmen und zusammenzählen, und es kommt der Nullvektor heraus, obwohl nicht alle Zahlen null sind. Gesucht sind solche Zahlen.
c) Was passiert mit dem Rang, wenn man $M$ eine dritte Zeile hinzufügt? Zwei Zeilen stehen zur Wahl, jede wird einzeln geprüft.

Zu b) steht im Original „Berechnen Sie die lineare Abhängigkeit“. Gemeint ist: eine konkrete Linearkombination der Spalten angeben, die null ergibt, und sie nachprüfen. Die Musterlösung nennt zu b) nichts; wir prüfen das Ergebnis darum selbst durch Nachrechnen.

So gehen wir vor:

Rang erklären und die Matrix mit Zeilenumformungen auf Stufenform bringen (a).
Aus der Stufenform den Rang ablesen (a).
Die Gleichung „Spalten mal Zahlen = 0“ lösen, mit derselben Umformung wie in a) (b).
Das Ergebnis an den Spalten nachrechnen (b).
Je Zusatzzeile die Stufenform der Matrix mit drei Zeilen bilden und prüfen, ob eine Nullzeile entsteht (c).

Merke: Der Rang ist die Zahl der Zeilen ungleich null in der Stufenform. Eine Nullzeile heißt: Diese Zeile steckt schon in den anderen.

Was der Rang ist und wie wir ihn finden

Zeile I und Zeile II von M

\text{I} = (1,\ 2,\ 5), \qquad \text{II} = (3,\ 4,\ 6)

Die Spalten von $M$ sind drei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ : $\binom{1}{3}$ , $\binom{2}{4}$ und $\binom{5}{6}$ . Ihre lineare Hülle (alle Vektoren, die man aus ihnen mit Malnehmen und Zusammenzählen erhält) heißt Spaltenraum. Der Rang ist die Dimension dieses Raums, also die Zahl der Spalten, die man höchstens unabhängig wählen kann.

Aus Ü3 A2 („Dimension, Basis und Komplement eines Unterraums im ℝ³“): Die Dimension eines Raums ist die Zahl der Vektoren in einer Basis. Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, die den Raum aufspannen.

Den Rang direkt aus den Spalten zu bestimmen, ist mühsam. Die Vorlesung (Kapitel 3.1) liefert zwei Hilfen. Erstens: Zeilenrang und Spaltenrang sind gleich, man darf also auch die Zeilen betrachten. Zweitens: Eine Zeilenumformung ändert den Rang nicht. Dabei ersetzt man eine Zeile durch sich selbst minus ein Vielfaches einer anderen Zeile. Mit solchen Umformungen bringen wir $M$ in Stufenform: Jede Zeile beginnt weiter rechts als die Zeile darüber, und die Zeilen werden von oben nach unten durch römische Zahlen benannt (I, II, …).

Merke: Zeilen umformen ändert den Rang nicht. In Stufenform zählt man die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.

Zeile II minus 3·Zeile I

Jede Zahl der Zeile II einzeln

\begin{aligned} 3 - 3 \cdot 1 &= 0 \\ 4 - 3 \cdot 2 &= 4 - 6 = -2 \\ 6 - 3 \cdot 5 &= 6 - 15 = -9 \end{aligned}

Die Matrix danach

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{\;\text{II} - 3 \cdot \text{I}\;} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -9 \end{pmatrix}

Die Stufenform braucht unter der ersten Zahl der Zeile I eine Null. Zeile I beginnt mit 1, Zeile II mit 3. Um die 3 zu löschen, ziehen wir Zeile I dreimal von Zeile II ab: $3 - 3 \cdot 1 = 0$ . Der Faktor 3 ist der Quotient der beiden ersten Einträge, $3 / 1$ .

Die Umformung wirkt auf die ganze Zeile, also auf alle drei Zahlen. Zeile I bleibt unverändert.

Rang einer 2×3-Matrix, Spaltenabhängigkeit und neue Zeilen

Die Aufgabe

Was der Rang ist und wie wir ihn finden

Zeile II minus 3·Zeile I

Die Matrix M

Abbildung 1Die Matrix M

I	1	2	5
II	0	−2	−9

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was der Rang ist und wie wir ihn finden

Schritt 2Zeile II minus 3·Zeile I

Die Matrix M

Abbildung 1Die Matrix M

Die Aufgabe

Was der Rang ist und wie wir ihn finden

Zeile II minus 3·Zeile I