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LAG · Übungsblatt 4 · Aufgabe 2

Drei kleine Gleichungssysteme lösen

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) besteht aus mehreren Gleichungen mit denselben Unbekannten. Eine Lösung ist eine Belegung der Unbekannten mit Zahlen, die alle Gleichungen zugleich erfüllt. Wir lösen drei kleine Systeme: Wir lassen in jedem Schritt eine Unbekannte verschwinden, setzen das Ergebnis in eine Gleichung ein und prüfen die Lösung durch Einsetzen. Bei den Systemen mit zwei Unbekannten zeichnen wir dazu zwei Geraden. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme.

  1. 2x1+3x2=0x1+2x2=0\begin{aligned} 2x_1 + 3x_2 &= 0 \\ x_1 + 2x_2 &= 0 \end{aligned}
  2. 2x1−3x2=1x1−2x2=1\begin{aligned} 2x_1 - 3x_2 &= 1 \\ x_1 - 2x_2 &= 1 \end{aligned}
  3. x1+2x2+x3=0x1+x2+x3=1x2−x3=1\begin{aligned} x_1 + 2x_2 + x_3 &= 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 &= 1 \\ x_2 - x_3 &= 1 \end{aligned}

Gegeben sind drei Gleichungssysteme. Die Unbekannten heißen x1x_1, x2x_2 und (im Teil c) x3x_3. Gesucht ist jeweils die Lösung: die Zahlen für die Unbekannten, bei denen jede Gleichung des Systems stimmt.

Merke: Wenn zwei Gleichungen gelten, gilt auch ihre Differenz: Gleiches von Gleichem abgezogen bleibt gleich. So lässt sich eine Unbekannte zum Verschwinden bringen (eliminieren). Aus den neuen Gleichungen lässt sich die alte wieder zurückrechnen (I = neue Gleichung + 2·II), deshalb bleibt die Lösung dieselbe.

Der Weg ist in jedem Teil derselbe:

  1. Die Gleichungen lesen und (bei zwei Unbekannten) als Geraden zeichnen.
  2. Eine Unbekannte durch Abziehen eines Vielfachen einer Gleichung eliminieren.
  3. Das Ergebnis in eine Gleichung einsetzen und die übrigen Unbekannten bestimmen.
  4. Die Probe: die Lösung in jede ursprüngliche Gleichung einsetzen.
  5. Das Ergebnis geometrisch deuten: Schnittpunkt der Geraden (im Teil c: Ebenen, dort erklärt).

Jede Gleichung ist eine Gerade

Das System, Gleichungen nummeriert
I2x1+3x2=0IIx1+2x2=0\begin{aligned} \text{I}\quad 2x_1 + 3x_2 &= 0 \\ \text{II}\quad x_1 + 2x_2 &= 0 \end{aligned}
Punkte der Geraden, durch Einsetzen gefunden
x1x2I00I3−2II00II2−1\begin{array}{c|c|c} & x_1 & x_2 \\ \hline \text{I} & 0 & 0 \\ \text{I} & 3 & -2 \\ \text{II} & 0 & 0 \\ \text{II} & 2 & -1 \end{array}

Wir nummerieren die Gleichungen mit I und II, damit wir uns später auf sie beziehen können. Jede Gleichung hat zwei Unbekannte. Ein Zahlenpaar (x1,x2)(x_1, x_2) ist ein Punkt der Ebene, x1x_1 nach rechts und x2x_2 nach oben. Alle Punkte, die eine einzelne Gleichung erfüllen, bilden eine Gerade.

Aus Ü1 A1 („Zwei Geraden zeichnen und schneiden“): Eine Gerade lässt sich als Gleichung in zwei Unbekannten schreiben: Genau die Punkte der Geraden erfüllen sie. Ein Punkt auf beiden Geraden erfüllt beide Gleichungen.

Zwei Punkte der Geraden I finden wir durch Einsetzen: Für x1=0x_1 = 0 ist 3x2=03x_2 = 0, also x2=0x_2 = 0. Für x1=3x_1 = 3 ist 6+3x2=06 + 3x_2 = 0, also x2=−2x_2 = -2. Bei II gehören (0,0)(0, 0) und (2,−1)(2, -1) dazu, denn 2+2⋅(−1)=02 + 2 \cdot (-1) = 0.

Die Lösung des Systems ist der Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Beide Geraden gehen durch den Ursprung. Ob sie sich noch woanders treffen, zeigt die Rechnung.

x₁ eliminieren: I − 2·II

Das Doppelte von II
2⋅II:2x1+4x2=02\cdot\text{II}:\quad 2x_1 + 4x_2 = 0
I minus das Doppelte von II, links und rechts
I−2⋅II:(2x1−2x1)+(3x2−4x2)=0−0−x2=0x2=0\begin{aligned} \text{I} - 2\cdot\text{II}:\quad (2x_1 - 2x_1) + (3x_2 - 4x_2) &= 0 - 0 \\ -x_2 &= 0 \\ x_2 &= 0 \end{aligned}

Wir wollen eine Unbekannte loswerden, damit nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig bleibt. In II steht x1x_1 mit dem Faktor 1, in I mit dem Faktor 2. Ziehen wir von I das Doppelte von II ab, heben sich die x1x_1-Terme auf: 2x1−2x1=02x_1 - 2x_1 = 0.

Wichtig: Wir rechnen auf beiden Seiten das Gleiche. Links ziehen wir 2⋅(x1+2x2)2 \cdot (x_1 + 2x_2) ab, rechts 2⋅02 \cdot 0. Wir ersetzen I durch das Ergebnis und behalten II. Jede Lösung des Systems erfüllt dann auch die neue Gleichung; die Probe zeigt später, dass die gefundene Zahl wirklich beide Gleichungen erfüllt.

Das Ergebnis ist −x2=0-x_2 = 0. Wir multiplizieren mit −1-1 und erhalten x2=0x_2 = 0.

Noch 15 Schritte bis zum Ergebnis
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Die Geraden I und II

Teil a)

Abbildung 1Die Geraden I und II

Teil a)

IIIS = (0, 0)
Legendeaktuell hervorgehobenDie beiden Geraden I und II und ihr Schnittpunkt S.