Ebene durch drei Punkte: Nebenklasse, Höhenformel, Spurgerade

Die Aufgabe

Eine Ebene $E$ im $\mathbb{R}^3$ gehe durch die Punkte

P_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad P_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad P_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

a) Fertigen Sie eine Skizze an.

b) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene E in der Darstellung als Nebenklasse.

c) Berechnen Sie die Formel, die für Punkte der Ebene E die Höhe z als Funktion der xy-Koordinate angibt, d. h. $z = f(x, y)$ .

d) Die Ebene E schneidet die xy-Ebene in einer Geraden g. Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g

i) durch geometrische Überlegungen mit Ihrer Skizze,
ii) durch Rechnung, indem Sie das passende Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Der Raum $\mathbb{R}^3$ besteht aus allen Punkten mit drei Koordinaten $(x, y, z)$ . Wir schreiben einen Punkt als Spalte. Die drei Punkte liegen je auf einer Koordinatenachse: $P_1$ auf der x-Achse, $P_2$ auf der y-Achse, $P_3$ auf der z-Achse.

Gefragt ist in vier Teilen:

a) Eine Skizze: die Punkte und die Ebene $E$ durch sie.
b) Die Ebene als Nebenklasse: ein fester Punkt (der Aufpunkt) plus der Spann von zwei Richtungsvektoren. Der Spann sind alle Vektoren, die man aus den beiden Richtungen mit je einer Zahl malnehmen und addieren kann. So wird die Ebene beschrieben.
c) Eine Formel $z = f(x, y)$ : Man gibt $x$ und $y$ vor, die Formel liefert die Höhe $z$ des Ebenenpunkts darüber.
d) Die Spurgerade $g$ : die Gerade, in der $E$ die xy-Ebene (alle Punkte mit $z = 0$ , der „Boden“) schneidet. Gesucht ist ihre Parametergleichung, erst mit der Skizze, dann durch ein Gleichungssystem.

Merke: Eine Ebene durch den Punkt

A

mit den Richtungen

v_1, v_2

ist

A + \langle v_1, v_2\rangle

, das heißt alle Punkte

A + \lambda v_1 + \mu v_2

mit beliebigen Zahlen

\lambda, \mu

Die drei Punkte einzeichnen

Die drei Punkte als Spalten

P_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad P_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad P_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Eine Koordinate sagt, wie weit man in eine Achsenrichtung geht. Bei $(x, y, z)$ geht man $x$ Einheiten in x-Richtung, $y$ in y-Richtung und $z$ nach oben. Stehen zwei Koordinaten auf 0, liegt der Punkt auf einer Achse.

$P_1 = (2, 0, 0)$ : zwei Einheiten auf der x-Achse.
$P_2 = (0, 2, 0)$ : zwei Einheiten auf der y-Achse.
$P_3 = (0, 0, 1)$ : eine Einheit auf der z-Achse.

Das Raumbild ist ein Schrägbild: Die x-Achse läuft schräg nach vorn und ist verkürzt gezeichnet, y geht nach rechts, z nach oben.

So zeichnen Sie die Skizze von Hand:

Drei Achsen: x schräg nach vorn links, y nach rechts, z nach oben.
Auf jeder Achse die Marke setzen: 2 auf der x-Achse, 2 auf der y-Achse, 1 auf der z-Achse.
Die drei Marken zu einem Dreieck verbinden. Es ist ein Stück der Ebene.

Diese Skizze brauchen wir in Teil d) wieder: Die Kante $P_1P_2$ liegt auf dem Boden.

Die Ebene durch die Punkte

Die Verbindungsvektoren (beide laufen in der Ebene)

P_1 - P_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad P_1 - P_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Sie sind keine Vielfachen voneinander. Damit gibt es genau eine Ebene $E$ durch $P_1, P_2, P_3$ .

Zwei Punkte legen eine Gerade fest. Ein dritter Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, legt dazu genau eine Ebene fest. Wir prüfen, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen: Die Verbindungsvektoren $P_1 - P_2$ und $P_1 - P_3$ dürfen keine Vielfachen voneinander sein.

$P_1 - P_2 = (2, -2, 0)$ hat als dritte Koordinate 0, $P_1 - P_3 = (2, 0, -1)$ hat $-1$ . Ein Vielfaches von $(2, -2, 0)$ hat immer 0 als dritte Koordinate, also sind es keine Vielfachen. Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

Gezeichnet ist das Dreieck $P_1P_2P_3$ . Es ist nur ein Stück der Ebene. Die Ebene $E$ setzt sich in alle Richtungen unendlich weit fort.

Ebene durch drei Punkte: Nebenklasse, Höhenformel, Spurgerade

Die Aufgabe

Die drei Punkte einzeichnen

Die Ebene durch die Punkte

Die Ebene im Raum

Abbildung 1Die Ebene im Raum

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die drei Punkte einzeichnen

Schritt 2Die Ebene durch die Punkte

Die Ebene im Raum

Abbildung 1Die Ebene im Raum

Die Aufgabe

Die drei Punkte einzeichnen

Die Ebene durch die Punkte