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LAG · Übungsblatt 4 · Aufgabe 6

Rang der transponierten Matrix: rang(A) = rang(Aᵀ)

Transponieren heißt: Zeilen und Spalten einer Matrix vertauschen. Wir beweisen, dass sich der Rang dabei nicht ändert. Der Weg: Wir formen AA mit Zeilen- und Spaltenumformungen in eine sehr einfache Matrix um, die Normalform. An ihr liest man den Rang ab. Dieselben Umformungen, transponiert, machen aus ATA^T die transponierte Normalform, und die hat denselben Rang. Rechts steht der ganze Beweis als Kette. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Zeigen Sie, dass für jede Matrix AA gilt: rang(A)=rang(AT)\mathit{rang}(A) = \mathit{rang}(A^T).

AA ist eine beliebige Matrix mit mm Zeilen und nn Spalten, kurz eine m×nm \times n-Matrix. Ihre Einträge stammen aus einem Körper KK, zum Beispiel K=RK = \mathbb{R}. Ein Körper ist ein Zahlenbereich, in dem man addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch jede Zahl ungleich 0 teilen kann. ATA^T ist die Transponierte von AA: Aus den Zeilen von AA werden die Spalten von ATA^T. Zu zeigen ist: Beide haben denselben Rang, und zwar für jede Matrix, nicht nur für ein Beispiel.

Vorsicht, Zirkel: Das Skript nennt in Kapitel 3.1 den Satz „Spaltenrang = Zeilenrang“. Wir werden sehen, dass das genau unsere Aussage ist. Wir dürfen ihn also nicht benutzen, sonst beweisen wir die Aussage mit sich selbst. Das Skript zeigt seine Beweisidee nur an einem Beispiel (S. 33). Hier folgt ein Beweis für jede Matrix.

So gehen wir vor:

  1. Klären, was Rang und Transponierte sind, und den Plan aufstellen.
  2. Das Werkzeug: Elementare Umformungen ändern den Rang nicht (Ü5 A2), und Transponieren macht aus einer Umformung an AA eine an ATA^T.
  3. Jede Matrix lässt sich in die Normalform NrN_r bringen. NrN_r und NrTN_r^T haben beide den Rang rr.
  4. Alles zusammensetzen.
  5. Ein Beispiel mit Zahlen.

Was der Rang einer Matrix ist

Definition · Rang einer Matrix (Skript, Kapitel 3.1)

Die m×nm \times n-Matrix MM sei über dem Körper KK, z. B. K=RK = \mathbb{R}. Fasst man die Spalten von MM als Vektoren aus KmK^m auf, so erzeugen die Spalten einen Unterraum UmU_m von KmK^m. Die Dimension des Unterraumes dim⁡(Um)\dim(U_m) nennt man Rang der Matrix MM, kurz rang⁡(M)\operatorname{rang}(M) genannt.

Rang in Formeln
rang⁡(A)=dim⁡⟨s1,…,sn⟩=Zahl linear unabha¨ngiger Spalten von A\operatorname{rang}(A) = \dim \langle s_1, \ldots, s_n \rangle = \text{Zahl linear unabhängiger Spalten von } A

Wer etwas über den Rang beweisen will, braucht seine genaue Definition. Das Skript definiert ihn über die Spalten. AA hat die Spalten s1,…,sns_1, \ldots, s_n. Jede ist ein Vektor mit mm Einträgen, also aus KmK^m.

Alle Linearkombinationen der Spalten bilden ihren Spann, den Spaltenraum ⟨s1,…,sn⟩\langle s_1, \ldots, s_n \rangle. Der Rang ist seine Dimension. Gleichwertig, so steht es auch im Skript (S. 31): die größte Zahl von Spalten, die zusammen linear unabhängig sind. Grund: Aus den Spalten kann man eine Basis des Spaltenraums auswählen. Ihre Zahl ist die Dimension, und mehr linear unabhängige Vektoren als die Dimension gibt es in einem Raum nicht.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): v1,…,vpv_1, \ldots, v_p heißen linear unabhängig, wenn λ1v1+…+λpvp=0\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_p v_p = 0 nur mit λ1=…=λp=0\lambda_1 = \ldots = \lambda_p = 0 geht. Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge, die den Raum aufspannt; die Dimension ist die Zahl ihrer Vektoren.

Die Transponierte: Zeilen werden Spalten

Beispiel: aus den zwei Zeilen von B werden die zwei Spalten von Bᵀ
B=(024135)⟹BT=(012345)B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}
Was rang(Aᵀ) zählt
rang⁡(AT)=dim⁡⟨z1,…,zm⟩=Zahl linear unabha¨ngiger Zeilen von A\operatorname{rang}(A^T) = \dim \langle z_1, \ldots, z_m \rangle = \text{Zahl linear unabhängiger Zeilen von } A
Satz · Skript, Kapitel 3.1 (hier nicht benutzt)

Der Rang einer Matrix ist gleich dem Spaltenrang ist gleich dem Zeilenrang.

AA hat an der Stelle Zeile ii, Spalte jj den Eintrag aija_{ij}. Die Transponierte ATA^T hat dort den Eintrag ajia_{ji}. Man spiegelt AA also an der Diagonale. Aus einer m×nm \times n-Matrix wird eine n×mn \times m-Matrix.

Die Zeilen von AA nennen wir z1,…,zmz_1, \ldots, z_m. Dann ist Spalte ll von ATA^T genau die Zeile zlz_l, nur stehend geschrieben. Nach der Definition zählt rang⁡(AT)\operatorname{rang}(A^T) also die linear unabhängigen Zeilen von AA. Die Aufgabe sagt damit: Eine Matrix hat gleich viele unabhängige Zeilen wie Spalten. Genau das ist der Satz aus dem Skript, den wir deshalb nicht benutzen dürfen.

Die Beispielmatrix BB oben kommt im letzten Teil wieder vor.

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Der Beweis

zwei Ketten, ein Rang r

Abbildung 1Was zu zeigen ist

Rang, Transponierte und der Plan

  1. A: m×n-Matrix u¨ber KA: \ m \times n\text{-Matrix über } KVoraussetzung
  2. Zeilen- und Spaltenumformungen bis zur Normalform
    A=A0→A1→⋯→At=NrA = A_0 \to A_1 \to \cdots \to A_t = N_r
  3. jeder Schritt erhält den Rang (Ü5 A2); Rang von Nᵣ
    rang⁡(A)=rang⁡(Nr)=r\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(N_r) = r
  4. jeden Schritt transponiert mitmachen
    AT=A0T→A1T→⋯→AtT=NrTA^T = A_0^T \to A_1^T \to \cdots \to A_t^T = N_r^T
  5. wieder Ü5 A2; Rang von Nᵣᵀ
    rang⁡(AT)=rang⁡(NrT)=r\operatorname{rang}(A^T) = \operatorname{rang}(N_r^T) = r
  6. beide sind gleich r
    rang⁡(A)=rang⁡(AT)\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^T)gezeigt
Legendegerade gemeintZielDer Beweis als Kette.