Gleichungssysteme als Weg entlang der Spalten

Die Aufgabe

Gegeben seien die drei linearen Gleichungssysteme (LGS)

\text{(I)}\quad A\cdot\lambda = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = P = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix},

\text{(II)}\quad A\cdot\lambda = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = P = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ und}

\text{(III)}\quad A\cdot\lambda = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = P = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}.

Das System beschreibt, wie durch die Linearkombinationen der Spalten der Matrix A der Vektor $P\in\mathbb{R}^2$ dargestellt werden kann. Man kann dies auch geometrisch deuten: Wie weit muss man entlang der Wegrichtungen, die durch die Spalten von A gegeben sind, jeweils „gehen“, um den Punkt P zu erreichen.

Führen Sie die Teilaufgaben a) bis c) jeweils einzeln für die drei LGS (I), (II) und (III) durch, d.h. es entstehen z.B. zu a) drei Skizzen.

Stellen Sie die Spalten der Matrix A und den Punkt P grafisch dar.
Sind die Spalten von A eine Basis des $\mathbb{R}^2$ ?
Lösen Sie das LGS und stellen Sie die o.g. Linearkombination grafisch dar.

Ein Gleichungssystem (LGS, kurz für lineares Gleichungssystem) hat hier die Form $A \cdot \lambda = P$ . $A$ ist eine Tabelle von Zahlen (eine Matrix) mit zwei Zeilen und zwei Spalten. $\lambda$ ist der gesuchte Vektor mit den zwei Unbekannten $\lambda_1$ und $\lambda_2$ . $P$ ist ein Punkt der Ebene, der Vektor $(4, 1)$ .

Das Produkt $A \cdot \lambda$ bedeutet: $\lambda_1$ mal die erste Spalte plus $\lambda_2$ mal die zweite Spalte. Eine solche Summe aus Vielfachen heißt Linearkombination. Als Weg gelesen: $\lambda_1$ Schritte entlang der ersten Spalte, danach $\lambda_2$ Schritte entlang der zweiten. Wir fragen, ob dieser Weg bei $P$ endet.

Gesucht ist für jedes der drei Systeme: die Skizze der Spalten und von $P$ (a), die Antwort, ob die Spalten eine Basis bilden (b), und die Lösung mit gezeichnetem Weg (c).

Merke:

A \cdot \lambda = P

lösen heißt,

P

als Linearkombination der Spalten von

A

zu schreiben. Die Lösung ist die Anleitung „

\lambda_1

mal Spalte 1 plus

\lambda_2

mal Spalte 2“.

So gehen wir bei jedem System vor:

Teil a): Spalten und P ablesen und einzeichnen.
Teil b): prüfen, ob die zwei Spalten eine Basis bilden.
Teil c): die zwei Gleichungen aufstellen, lösen und den Weg einzeichnen.

Die Aufgabe verlangt je System eine Skizze für a) und eine für c). Wir zeichnen beides in eine Skizze je System und arbeiten die Systeme nacheinander durch.

(I) a): Spalten und P einzeichnen

Die Spalten von A aus System (I)

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Eingezeichnet: $a_1$ von $(0, 0)$ nach $(2, 2)$ , $a_2$ von $(0, 0)$ nach $(1, -2)$ , dazu der Punkt $P$ bei $(4, 1)$ .

Die Spalten von $A$ sind die senkrecht untereinander stehenden Zahlen. Wir nennen sie $a_1$ (erste Spalte) und $a_2$ (zweite Spalte). Jede Spalte ist ein Pfeil vom Ursprung $(0, 0)$ : Die obere Zahl ist der Weg nach rechts, die untere der Weg nach oben (negativ heißt nach unten).

Bei (I) ist $a_1$ der Pfeil zwei nach rechts und zwei nach oben, $a_2$ der Pfeil eins nach rechts und zwei nach unten. $P = (4, 1)$ ist ein Punkt: vier nach rechts, eins nach oben.

(I) b): Bilden die Spalten eine Basis?

Ist a₁ ein Vielfaches von a₂? Beide Zeilen müssen mit demselben k gehen

\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; \begin{aligned} 2 &= k \cdot 1 \;\Rightarrow\; k = 2 \\ 2 &= k \cdot (-2) = 2 \cdot (-2) = -4 \quad \text{(falsch)} \end{aligned}

Antwort: Ja, die Spalten von $A$ in (I) sind eine Basis des $\mathbb{R}^2$ .

Eine Basis des $\mathbb{R}^2$ besteht aus zwei Vektoren, die linear unabhängig sind: Keiner ist ein Vielfaches des anderen. Dann zeigen sie in verschiedene Richtungen, und jeder Punkt der Ebene lässt sich als Linearkombination der beiden schreiben, auf genau einem Weg.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner ein Vielfaches des anderen ist.

Beide Pfeile sind nicht der Nullpfeil; dann genügt eine Richtung: Wäre $a_2 = m \cdot a_1$ , dann auch $a_1 = (1/m) \cdot a_2$ . \1 Die obere Zeile verlangt $2 = k \cdot 1$ , also $k = 2$ . Die untere Zeile verlangt dann $2 = 2 \cdot (-2) = -4$ . Das stimmt nicht. Die Spalten sind also nicht parallel. In der Zeichnung zeigt die gestrichelte Gerade durch $a_1$ : $a_2$ liegt nicht auf ihr.

Gleichungssysteme als Weg entlang der Spalten

Die Aufgabe

(I) a): Spalten und P einzeichnen

(I) b): Bilden die Spalten eine Basis?

System (I) in der Ebene

Abbildung 1System (I) in der Ebene

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1(I) a): Spalten und P einzeichnen

Schritt 2(I) b): Bilden die Spalten eine Basis?

System (I) in der Ebene

Abbildung 1System (I) in der Ebene

Die Aufgabe

(I) a): Spalten und P einzeichnen

(I) b): Bilden die Spalten eine Basis?