Lineare Abbildung: Matrix, Kern, Bild, Umkehrung

Die Aufgabe

Sei $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ die Abbildung mit

f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - z \\ 3x + y \\ y \end{pmatrix}.

Zeigen Sie, dass f linear ist.
Geben Sie die der Abbildung zugeordnete Matrix A an.
Bestimmen Sie Kern(f) und Bild(f).
Ist f invertierbar? Falls ja, wie lautet die Umkehrabbildung $f^{-1}$ und die Matrix $A^{-1}$ ? Falls nein, warum nicht?

Gegeben ist eine Abbildung $f$ . Sie nimmt einen Vektor mit drei Zahlen $x$ , $y$ , $z$ und gibt einen neuen Vektor mit drei Zahlen zurück. Die drei neuen Zahlen entstehen aus den alten durch einfache Rechnungen: $x - z$ , $3x + y$ und $y$ .

Zu $f$ gibt es vier Fragen. Bei Teil b) brauchen wir den Begriff „Matrix zu $f$ “, bei Teil c) „Kern“ und „Bild“, bei Teil d) „Umkehrabbildung“. Jeder Begriff wird erklärt, bevor wir ihn benutzen.

Merke: Eine lineare Abbildung ist durch eine Matrix

A

bestimmt:

f(v) = A\,v

. Kern, Bild und Umkehrbarkeit lassen sich dann mit dem Gauß-Algorithmus an

A

ablesen.

So gehen wir vor:

Teil a): die zwei Regeln der Linearität nachrechnen.
Teil b): die Bilder der drei Einheitsvektoren bestimmen und als Spalten schreiben.
Teil c): den Kern lösen, den Rang mit Gauß bestimmen, daraus das Bild ablesen.
Teil d): bijektiv prüfen, $A$ mit Gauß-Jordan invertieren, $f^{-1}$ aufschreiben.

Was „linear“ bedeutet

Additivität (für alle u, v)

f(u + v) = f(u) + f(v)

Homogenität (für alle u und alle Zahlen λ)

f(\lambda u) = \lambda\, f(u)

Eine Abbildung heißt linear, wenn sie mit dem Addieren und mit dem Vervielfachen von Vektoren verträglich ist. Dafür gibt es zwei Regeln, jeweils für alle Vektoren $u$ , $v$ und alle reellen Zahlen $\lambda$ :

Additivität: Erst addieren, dann abbilden, ergibt dasselbe wie erst abbilden, dann addieren.
Homogenität: Erst mit $\lambda$ vervielfachen, dann abbilden, ergibt dasselbe wie erst abbilden, dann vervielfachen.

Die Musterlösung fasst beide Regeln in einer Gleichung zusammen: $f(\lambda u_1 + u_2) = \lambda f(u_1) + f(u_2)$ . Mit $\lambda = 1$ folgt daraus die Additivität. Mit $u_2 = 0$ steht dort $f(\lambda u_1) = \lambda f(u_1) + f(0)$ . Aus der Additivität folgt $f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)$ , also $f(0) = 0$ . Damit gilt auch die Homogenität. Wir rechnen die zwei Regeln einzeln, so sieht man jede für sich.

Dazu nehmen wir zwei beliebige Vektoren $u = (x_1, y_1, z_1)^T$ und $v = (x_2, y_2, z_2)^T$ und eine beliebige Zahl $\lambda$ . „Beliebig“ heißt: Wir setzen keine konkreten Zahlen ein, damit die Rechnung für jeden Vektor gilt.

Additivität nachrechnen

Links: erst addieren, dann f anwenden

f(u+v) = f\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2) - (z_1 + z_2) \\ 3(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}

Rechts: erst f anwenden, dann addieren

f(u) + f(v) = \begin{pmatrix} x_1 - z_1 \\ 3x_1 + y_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 - z_2 \\ 3x_2 + y_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 - z_1) + (x_2 - z_2) \\ (3x_1 + y_1) + (3x_2 + y_2) \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}

Komponente für Komponente gleich

\begin{aligned} (x_1 + x_2) - (z_1 + z_2) &= (x_1 - z_1) + (x_2 - z_2) \\ 3(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) &= 3x_1 + 3x_2 + y_1 + y_2 = (3x_1 + y_1) + (3x_2 + y_2) \\ y_1 + y_2 &= y_1 + y_2 \end{aligned}

Also gilt $f(u+v) = f(u) + f(v)$ .

Wir berechnen beide Seiten getrennt und vergleichen. Links: Erst die Vektoren addieren (komponentenweise), dann $f$ anwenden. Dabei setzen wir in die Formel von $f$ für $x$ den Wert $x_1 + x_2$ ein, für $y$ den Wert $y_1 + y_2$ und für $z$ den Wert $z_1 + z_2$ .

Rechts: Erst $f(u)$ und $f(v)$ einzeln bestimmen, dann addieren.

Beide Seiten sind gleich. Der Grund: In jeder Komponente stehen nur Vielfache von $x$ , $y$ , $z$ , ohne eine einzelne Zahl dazu. Solche Ausdrücke darf man beim Addieren auseinanderziehen (Ausmultiplizieren und Umsortieren).

Lineare Abbildung: Matrix, Kern, Bild, Umkehrung

Die Aufgabe

Was „linear“ bedeutet

Additivität nachrechnen

Die Matrix zu f

Abbildung 1Die Matrix zu f

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was „linear“ bedeutet

Schritt 2Additivität nachrechnen

Die Matrix zu f

Abbildung 1Die Matrix zu f

Die Aufgabe

Was „linear“ bedeutet

Additivität nachrechnen