Injektiv genau dann, wenn der Kern null ist

Die Aufgabe

Satz: Eine lineare Abbildung $f: U \to V$ ist genau dann injektiv (eindeutig), wenn $\operatorname{Kern}(f) = 0$ ist.

Beweisen Sie diesen Satz.

Hinweis: Man muss beide Richtungen beweisen, d.h.

⇒) Zeigen, dass aus der Injektivität Kern(f) = 0 folgt.

⇐) Zeigen, dass aus Kern(f) = 0 die Injektivität folgt.

$U$ und $V$ sind Vektorräume, $f$ bildet jeden Vektor $u$ aus $U$ auf einen Vektor $f(u)$ in $V$ ab. $f$ ist linear: $f(u_1 + u_2) = f(u_1) + f(u_2)$ und $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ für alle Vektoren und jede Zahl $\lambda$ . Zu beweisen ist: $f$ ist injektiv genau dann, wenn $\operatorname{Kern}(f) = \{0_U\}$ ist.

„Kern(f) = 0“ in der Aufgabe meint: Der Kern ist die Menge, die nur den Nullvektor enthält. Wir schreiben dafür $\operatorname{Kern}(f) = \{0_U\}$ . Dabei ist $0_U$ der Nullvektor von $U$ ; Schritt 2 erklärt das genauer. Was „injektiv“ und „Kern“ genau heißen, klären die ersten zwei Schritte.

Merke: „

A

genau dann, wenn

B

“ (kurz

A \Leftrightarrow B

) heißt: Aus

A

folgt

B

, und aus

B

folgt

A

. Ein Beweis braucht beide Richtungen.

So gehen wir vor:

Die Begriffe: injektiv und Kern.
Richtung ⇒: Wir nehmen an, $f$ ist injektiv, und zeigen $\operatorname{Kern}(f) = \{0_U\}$ .
Richtung ⇐: Wir nehmen $\operatorname{Kern}(f) = \{0_U\}$ an und zeigen, dass $f$ injektiv ist.

Was „injektiv“ heißt

Definition: f ist injektiv

\text{für alle } u_1, u_2 \in U: \quad f(u_1) = f(u_2) \ \Rightarrow\ u_1 = u_2

Injektiv (die Aufgabe sagt auch „eindeutig“) heißt: Zwei verschiedene Vektoren landen nie auf demselben Ergebnis. Ein Vektor $u$ heißt Urbild von $w$ , wenn $f(u) = w$ ist; $w$ heißt dann das Bild von $u$ . Injektiv heißt: Zu jedem $w$ gibt es höchstens ein solches $u$ .

Für einen Beweis braucht man die Form rechts: Haben zwei Vektoren dasselbe Bild, dann sind sie gleich. Diese Form sagt dasselbe wie „verschiedene Vektoren, verschiedene Bilder“, nur von hinten gelesen. Denn wenn aus $u_1 \neq u_2$ immer $f(u_1) \neq f(u_2)$ folgt, kann $f(u_1) = f(u_2)$ nur bei $u_1 = u_2$ vorkommen.

Beispiel einer nicht injektiven linearen Abbildung: $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ . Sie löscht die zweite Koordinate. So ist $f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ , obwohl die beiden Vektoren verschieden sind.

Was der Kern ist

Definition: Kern von f

\operatorname{Kern}(f) = \{\, u \in U \mid f(u) = 0_V \,\}

Was zu zeigen ist

f \text{ injektiv} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{Kern}(f) = \{0_U\}

Der Kern von $f$ ist die Menge aller Vektoren aus $U$ , die $f$ auf den Nullvektor abbildet. Den senkrechten Strich in der Formel liest man „für die gilt“.

$U$ und $V$ haben je einen eigenen Nullvektor. Wir schreiben $0_U$ für den Nullvektor in $U$ und $0_V$ für den in $V$ . So sieht man in jeder Zeile, wo man gerade ist.

Im Beispiel $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ liegt $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ im Kern, denn sein Bild ist $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Der Kern ist dort also größer als $\{0_U\}$ , und die Abbildung ist nicht injektiv. Genau diesen Zusammenhang beweist der Satz.

Aus Ü6 A2 („Wahr oder falsch: lineare Abbildungen“): Der Kern einer linearen Abbildung

f: U \to V

ist

\{u \in U \mid f(u) = 0\}

: Die Vektoren kommen aus

U

, nicht aus

V

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was „injektiv“ heißt

Schritt 2Was der Kern ist

Beweis

Abbildung 1Beweis

Die Aufgabe

Was „injektiv“ heißt

Was der Kern ist