Kern und Bild einer linearen Abbildung

Die Aufgabe

Bestimmen Sie Kern und Bild der linearen Abbildung $f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , von der man folgendes weiß:

f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix},\quad f\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\6\\4\end{pmatrix},\quad f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}

Von einer linearen Abbildung $f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ kennen wir nur drei Werte: die Bilder der drei Einheitsvektoren $e_1 = (1,0,0)^T,\; e_2 = (0,1,0)^T,\; e_3 = (0,0,1)^T$ . Das reicht, denn jeder Vektor ist eine Kombination der Einheitsvektoren und $f$ ist linear (Schritt 1).

Gesucht sind der Kern und das Bild von $f$ . Beide erklären wir, bevor wir sie benutzen. Die Musterlösung nennt nur den Kern; das Bild rechnen wir zusätzlich.

Merke: Der Kern gehört zur Eingabeseite (Vektoren, die verschwinden), das Bild zur Ausgabeseite (Vektoren, die herauskommen). Beide enthalten immer den Nullvektor. Je nach Abbildung sind sie nur der Nullpunkt, eine Gerade durch den Nullpunkt, eine Ebene durch den Nullpunkt oder der ganze Raum.

Die Matrix aus den drei Bildern bauen.
Den Kern als Lösungsmenge eines Gleichungssystems schreiben und mit Gauß lösen.
Das Bild aus den Spalten der Matrix bestimmen.
Probe machen und mit der Dimensionsformel prüfen (sie wird in Schritt 10 erklärt).

Die Matrix aus den Bildern bauen

Linearität: f auf jeden Summanden anwenden

f(x) = x_1\, f(e_1) + x_2\, f(e_2) + x_3\, f(e_3)

Die Bilder werden die Spalten von A

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 0 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & -3 \end{pmatrix}

Die Spalten nennen wir $a_1 = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix},\; a_2 = \begin{pmatrix}1\\6\\4\end{pmatrix},\; a_3 = \begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}$ .

Aus Ü6 A1 („Lineare Abbildung: Matrix, Kern, Bild, Umkehrung“): Eine Abbildung

f

ist linear, wenn

f(u+v) = f(u) + f(v)

und

f(\lambda u) = \lambda f(u)

gilt.

Ein Vektor $x = (x_1, x_2, x_3)^T$ lässt sich schreiben als $x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3$ . Weil $f$ linear ist, darf man $f$ auf jeden Summanden einzeln anwenden und Zahlen vor $f$ ziehen. So ist $f(x)$ aus den drei gegebenen Bildern bestimmt.

Schreibt man die drei Bilder als Spalten nebeneinander, entsteht eine Matrix $A$ . Dann gilt $f(x) = A\,x$ : Das Produkt $A\,x$ bedeutet $x_1$ mal Spalte 1, plus $x_2$ mal Spalte 2, plus $x_3$ mal Spalte 3. Das ist genau die Formel oben.

Kern heißt: Ax = 0 lösen

Das Gleichungssystem Ax = 0 als erweiterte Matrix (rechts vom Strich die 0), Zeilen I, II, III

\begin{array}{c}\text{I}\\\text{II}\\\text{III}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & -3 & 0 \end{array}\right) \qquad \begin{aligned} -x_1 + x_2 + 3x_3 &= 0 \\ 6x_2 + 3x_3 &= 0 \\ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 &= 0 \end{aligned}

Der Kern von $f$ besteht aus allen Vektoren $x$ , die $f$ auf den Nullvektor abbildet, also $f(x) = 0$ . Mit der Matrix aus Schritt 1 ist das die Gleichung $A\,x = 0$ .

Ausgeschrieben sind das drei Gleichungen für die drei Unbekannten $x_1, x_2, x_3$ . Solche Systeme löst das Gauß-Verfahren.

Aus Ü5 A1 („Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus lösen“): Zeilenumformungen (eine Zeile mit einer Zahl malnehmen oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren) ändern die Lösungsmenge nicht. Ziel ist eine Stufenform: Jede Zeile beginnt weiter rechts als die vorige.

Kern und Bild einer linearen Abbildung

Die Aufgabe

Die Matrix aus den Bildern bauen

Kern heißt: Ax = 0 lösen

Eingabe-Raum

Abbildung 1Eingabe-Raum

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Matrix aus den Bildern bauen

Schritt 2Kern heißt: Ax = 0 lösen

Eingabe-Raum

Abbildung 1Eingabe-Raum

Die Aufgabe

Die Matrix aus den Bildern bauen

Kern heißt: Ax = 0 lösen