Häuschen strecken, drehen und verschieben mit Matrizen

Die Aufgabe

Gegeben sei die geometrische Figur im Bild („Häuschen“).

a) Geben Sie die drei Matrizen an, die jeweils einzeln

$A_1$ : eine Streckung um den Faktor 2,
$A_2$ : eine Drehung um den Winkel 60° (math. positiv),
$A_3$ : eine Verschiebung in den Punkt $T=(2,3)$

vornehmen. Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse grafisch.

b) Wie lautet die Matrix, die alle drei Transformationen aus a) in der dort angegebenen Reihenfolge gemeinsam ausführt?

c) Wie lautet die Matrix $B$ , die das „Häuschen“ um 90° nach links (math. positiv) um die Dachspitze dreht?

Das „Häuschen“ ist ein Fünfeck: ein Rechteck mit einem Dreieck als Dach. Seine fünf Ecken sind $P_1 = (1,1)$ , $P_2 = (3,1)$ , $P_3 = (3,2)$ , $P_4 = (2,3)$ (die Dachspitze) und $P_5 = (1,2)$ . Diese Namen führen wir ein, damit wir uns auf jede Ecke einzeln beziehen können.

Eine Transformation macht aus jedem Punkt des Häuschens einen neuen Punkt, den Bildpunkt. Alle Bildpunkte zusammen sind das Bild des Häuschens. Gesucht sind drei Dinge:

a) Eine Matrix für jede der drei Transformationen: Streckung um 2 ( $A_1$ ), Drehung um 60° ( $A_2$ ) und Verschiebung ( $A_3$ ). „Math. positiv“ heißt: gegen den Uhrzeigersinn. „Verschiebung in den Punkt $T = (2,3)$ “ meint: Der Ursprung $(0,0)$ wandert nach $T$ , jeder Punkt wird also um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben (so rechnet auch die Musterlösung). Jedes Ergebnis wird in der Grafik kontrolliert.
b) Eine einzige Matrix, die alle drei Transformationen nacheinander ausführt: erst Streckung, dann Drehung, dann Verschiebung.
c) Eine Matrix $B$ , die das Häuschen um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht, und zwar um die Dachspitze statt um den Ursprung.

Vorschau (Schritt 2 und 10 erklären es): Eine Matrix mal ein Punkt ergibt den Bildpunkt. Mit einer dritten Koordinate 1 am Punkt (homogene Koordinaten) geht das auch für die Verschiebung. Wirkt eine Matrix hinter der anderen, steht die zuerst wirkende rechts.

Das Bild zur Aufgabe siehst du ab Schritt 1.

So gehen wir vor:

Das Häuschen und die homogenen Koordinaten kennenlernen.
Teil a): für jede Transformation die Matrix aufstellen und das Bild des Häuschens ausrechnen.
Teil b): die drei Matrizen in der richtigen Reihenfolge miteinander multiplizieren.
Teil c): erst die Dachspitze in den Ursprung schieben, dort drehen und zurückschieben.

Das Häuschen: fünf Ecken

Die fünf Ecken, abgelesen aus dem Bild

P_1 = (1,1), \quad P_2 = (3,1), \quad P_3 = (3,2), \quad P_4 = (2,3), \quad P_5 = (1,2)

P_4 \text{ ist die Dachspitze.}

Das Häuschen besteht aus geraden Strecken zwischen den Ecken. Alle fünf Ecken liegen in der Zeichnung genau auf Gitterpunkten, wir können ihre Koordinaten ablesen. Wir gehen gegen den Uhrzeigersinn herum und beginnen links unten.

Die Transformationen dieser Aufgabe (Streckung, Drehung, Verschiebung) machen aus jeder Strecke wieder eine Strecke. Darum reicht es, die fünf Ecken umzurechnen und die Bildecken in derselben Reihenfolge zu verbinden. Genau das tun wir in jedem Teil der Aufgabe, und die Grafik rechts zeigt das Ergebnis.

Warum eine dritte Koordinate? Homogene Koordinaten

Ein Punkt in homogenen Koordinaten

(x, y) \;\longleftrightarrow\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}

Allgemeine Matrix der Form, die wir brauchen, mal ein Punkt (Zeile mal Spalte)

\begin{pmatrix} a & b & t_1 \\ c & d & t_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot x + b\cdot y + t_1\cdot 1 \\ c\cdot x + d\cdot y + t_2\cdot 1 \\ 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by + t_1 \\ cx + dy + t_2 \\ 1 \end{pmatrix}

Der neue Punkt ist $(ax + by + t_1,\; cx + dy + t_2)$ . Die dritte Koordinate ist wieder 1, also können wir sofort die nächste Matrix anwenden.

Eine 2×2-Matrix kann Punkte strecken und drehen, aber nicht verschieben. Der Grund: Sie macht aus dem Ursprung $(0,0)$ immer wieder $(0,0)$ , denn jeder Eintrag des Ergebnisses ist eine Summe aus Vielfachen von $x$ und $y$ , und beide sind 0. Eine Verschiebung bringt den Ursprung aber nach $(2,3)$ .

Der Ausweg: Wir hängen an jeden Punkt eine dritte Koordinate 1 an. Das nennt man homogene Koordinaten. Der Punkt $(x, y)$ wird zum Spaltenvektor $(x, y, 1)^{\top}$ (eine Spalte aus drei Zahlen untereinander). Dazu brauchen wir 3×3-Matrizen. Die Aufgabe nennt das nicht ausdrücklich, aber nur so lässt sich die Verschiebung als Matrix schreiben.

Matrix mal Spalte rechnet man „Zeile mal Spalte“: Jede Zeile der Matrix wird mit der Spalte Eintrag für Eintrag multipliziert, die Produkte werden addiert.

Merke: Die linke obere 2×2-Ecke der Matrix streckt und dreht. Die Zahlen

t_1

und

t_2

in der letzten Spalte verschieben. Die letzte Zeile

(0, 0, 1)

sorgt dafür, dass die dritte Koordinate 1 bleibt.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Das Häuschen: fünf Ecken

Schritt 2Warum eine dritte Koordinate? Homogene Koordinaten

Das Häuschen

Abbildung 1Das Häuschen

Die Aufgabe

Das Häuschen: fünf Ecken

Warum eine dritte Koordinate? Homogene Koordinaten